前两天有朋友发了两道题目，几何求值的问题。
【题1】
如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=30°，AC平分∠BAD，AB=1，AD=2，则AC的长度是
A.5-√7
B.2+√7
C.3+√7
D.2√7
大家可以先思考一下再继续！
根据题目的已知条件，可以先构造一个ΔABD，两边长分别为1，然后它们的夹角为120°，并作它的角平分线。
然后再以BD为边构造等边三角形，以另外一个顶点为圆心画圆，且与上面的角平分线交于点C。
可以发现这个四边形的形状、大小都是确定的。
那么一定是可以求出所有的边长。而且题目中有较多的特殊角，因此可以考虑构造特殊的三角形进行求解。
根据上图可以发现点O就在AC上（A、B、O、D四点共圆，对角互补，且OD=OB，而∠DAO=∠BAO，所以O一定在AC上），那么只需求出OA与OC即可。
先构造直角三角形，求出BD=√7，然后得到OD=OC=√7。
再作垂线段DE，得DE=√3，那么得到AE=1，OE=2，
所以结论就是AC=3+√7。
还有其它解法吗？
根据题目中的120°和30°，容易想到四点共圆。但是对角不互补，没有办法。
因此，可以考虑以BC为边作∠BCE=30°，另一边交AB的延长线于点E，如上图所示。
此时，可以发现四边形AECD四点共圆。
再将ΔACD绕点C逆时针旋转60°。易得ΔACF为等边三角形。
BE=DB=√7，而AB+EF=AB+AD=3。
所以答案就是3+√7了。
但是上面有一个bug，也就是CD和CE是否相等呢？会重合吗？
上面的分析中无法直接得到这个结论。因此需要换一种说法。
在题目的图中，直接将ΔACD绕点C逆时针旋转60°并落在ΔFCE上，并连接AF。
易得ΔACF为等边三角形，且∠CAF=∠CFA=∠CAB=60°，所以点B在线段AF上。
设CE于AF交于点E′。由于∠DCE+∠DAB=180°，那么可以得到∠ADC+∠AE′C=∠CE′F+∠AEC=180°，则点E与E′重合，E也在AF上。
那么算法就是上面的算法了。
当然，将ΔACB绕点C顺时针旋转60°也可以的。
本质上，本题是一个半角模型问题的延申。如下图所示。
等边三角形ACF中，∠BCE=30°，且与AF交于点B、E。然后将ΔECF绕点C顺时针旋转60°得到的一个图形。
这样题目就出来了。
当然，我们可以做适当的变形。
把等边改成等腰直角三角形就可以了。
如上图所示，∠DAC=∠E′AC=∠DCE′=45°，AD=3，AE′=4，求AC的长。
上面这道变式有思路吗？
【题2】
如图所示，在三角形ABC中，AB=4，BC=2√3，点E在AC边上，点D在BE边上，且∠ABE=∠CAD=30°，∠ADC=90°，求BD的长。
如下图所示，过点D作DF⊥BD于点D，连接CF。
易得三角形ADB相似于三角形CDF，然后得到∠DAB=∠DCF，所以可以得到A、C、D、F四点共圆，易得∠AFC=90°。
把已知条件代入，易得CF=4/√3，那么就可以利用勾股定理得到BF的长度为2√15/3，那么DF=√15/3，则BD=√5。
其实，还可以在右侧进行构造。如下图所示。
以BD为边构造一个含30°角的直角三角形，然后连接AG。相当于把三角形ADC绕点D旋转一定的度数，使得CD落在BD上，并放大使得点C的对应点与B重合。
也就是旋转并放大。然后连接AG。
易得上面两个绿色的三角形相似，相似比为√3，那么AG=6，可以得到BG=2√5，则BD=√5。
怎么样？
有没有什么收获呢？