已知f(x)+2f(-x)=x,求f

主要内容

通过抽象函数换元、函数代换法，介绍已知f(x)+2f(-x)=x,求函数f(x)表达式的具体步骤。

思路一：抽象函数换元

设-x=t,则x=-t，代入已知条件得：

f(-t)+2f(t)=-t,

2f(t)+f(-t)=-t,

由于函数自变量可以用任意符号表示，

同时连立已知条件，得方程组：

2f(x)+f(-x)=-x……(1)

f(x)+2f(-x)=x……(2)

方程(1)*2-(2)，得：

(4-1)f(x)=-2x-x,

(2-1)f(x)=-x，

所以f(x)=-x。

思路二:函数代换法

设f(x)=mx+n,则：

f(-x)=-mx+n,代入已知条件得：

(mx+n)-2mx+n=x

(-m-1)x+2n=0,

方程对任意的x都成立，则：

-m-1=0,且2n=0。

即：m=-1,n=0,

所以f(x)=-x。