锐角三角函数章节导课教学反思

锐角三角函数章节导课教学反思

作为全章的第一课，其作用是“剧透”和“导引”，还得埋下伏笔，后面才有文章可作。锐角三角函数是初中数学中的重要概念，它反映了直角三角形中锐角与两边的比之间的关系，即将锐角作为一个变量，两边比值作为另一个变量，让学生理解它们之间的关系，而这种变量之间的关系，我们称之为函数。

从字面解读，直角三角形是前提条件，研究对象一是锐角，对象二是比值。

一、为什么要在直角三角形中？

本章的导入采用了实际情境，比萨斜塔。通过阅读教材，对几个专用名词进行数学解读，塔顶中心点、垂直中心线、偏离、塔高等。其中塔高是定值54.5m，垂直中心线是定线，它始终垂直于地面，变化的量只有一个，即偏离的距离，这个距离实际上是过塔顶中心点向垂直中心线作垂线段的长度，这样就构造出了一个直角三角形，它的斜边是54.5m。

然后是对倾斜程度进行描述，通常情况下，我们是用角度来描述倾斜程度的，例如倾斜角，即图中的∠A，显然阅读材料中并没有给出这个角度，因此无法描述。如何从给出的一堆“线段长度”来描述“倾斜程度”？

教材中给出的导问是“塔身中心线与垂直中心线所成的角”，这是从习惯出发，显然一个角的两边是射线，没办法测量长度，可一旦这个角放入直角三角形中，情况顿时就不一样了。

从给出的几组数量中，塔身中心线、垂直中心线和偏离距离，可构造出一个直角三角形，而我们欲表示的倾斜角度，是其中一个锐角，斜边AB已知，偏离距离为BC，它们正好是∠A的对边与斜边，这两条线段又是如何描述倾斜程度的呢？

二、为什么要用比值？

仍然是在前面所构造的直角三角形中，直角已知，∠A是我们要描述的对象，可用条件是它的对边和斜边，究竟是用对边+斜边？斜边-对边？对边乘斜边？对边除斜边？……

要将学生的思维引到比值上，并不容易。

我想到的是，既然直角不变，∠A已知，那么这样的直角三角形有无数个，并且它们彼此相似，有了相似这层联系，那么，夹∠A的两条边一定是成比例的，于是就扯到线段的比值上了，即∠A的对边和斜边的比值是随∠A而确定的。

以斜塔图形为例，由于AB长度是固定的，那么BC变化时，BC:AB也在变化，并且很明显可以看出，∠A变大，这个比值也变大，建立起了角度和比值的初步关联。

三、为什么是函数？

锐角三角函数，前提是在直角三角形中，考查其中一个锐角，怎么又变成函数了呢？到目前为止，我们对函数的理解仍然是两个变量之间的关系，在前面的铺垫中，可知其中一个变量是角度，而另一个变量则是比值，比值中的两条线段是作为一个整体而不能分开，当我们确定了角度大小，那么比值是相对确定的，并且和三角形大小无关，这可用相似三角形来解释。

反过来，当比值确定了，这个角度大小也随之确定，这就是典型的函数关系。

四、从特殊到一般

关于正弦的描述，我们是从含30°角的直角三角形中开始探索的，毕竟这个三角形是我们研究过多次的，多数学生都知道它的三边之比为1：√3：2，也方便后面的计算求比值，紧接着是等腰直角三角形，三边之比为1：1：√2，再加上例题中的三边比为3：4：5和5：12：13两种，未来常用的特殊直角三角形今天全见面了，当然希望再次遇到时，不要忘记。

例题中的两类特殊直角三角形，我们并不知道它的两个锐角度数，但十分肯定的是，可以求出一个度数来，这在后续学习中，我们可以用几何画板来实现。