中考数学压轴题分析——已知面积求值

　　前面介绍了面积最大值的问题，接下来一段时间就是全面介绍面积有关的问题。

　　至于很多同学说能不能介绍一些几何压轴题的问题。当然没问题。但是还是希望给大家呈现的内容是有序、系统的。一步步来，大家耐心等待。

　　今天的内容中，题目通常会已知一个三角形或四边形的面积，然后再求一个点的坐标或者参数的值。本质上还是三角形面积公式的应用。

　　抓住面积这个核心，其它都可以迎刃而解。今天的题目选自以下地区：

　　2019•苏州、2019•随州

　　2019•兰州、2019•无锡

　　2019•怀化、2019•常德

　　2019•临沂、2019•沈阳

　　2019•鸡西、2019•泰安

　　2019•广元、2019•武汉

　　2019•沈阳、2019•毕节市、2019•湘西州

　　【中考真题】

　　（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x 2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax² bx c（a＜0）经过点A、B．

　　（1）求a、b满足的关系式及c的值．

　　（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　　【分析】

　　本题也是求坐标的题目，虽然表述与面积最值问题不同。本质上仍然是一致的。

　　由于点P的坐标是未知的，那么我们一般习惯于设未知数。然后再表示出△PAB的面积，并令其为1，解方程即可。

　　不过本题中点P的位置是抛物线上，那么可能性比较多，有可能是直线AB的上方，也有可能是下方。因此需要分类讨论。

　　解法的话可以表示出铅锤高PQ，再表示出AB边上的高PH，用底乘高可以表示出面积。比如下图：

　　当然，我们也可以设过点P与AB平行的直线l的解析式，假设该直线与y轴交于点M，令△ABM的面积=1即可（根据平行线间的距离处处相等得到S△ABP=S△ABM=1）。

　　知道直线l的解析式，自然就可以求出它与抛物线的交点P了。

　　【答案】

　　解：y＝x 2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，

　　∴故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），

　　则c＝2，函数表达式为：y＝ax² bx 2，

　　当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x²﹣x 2，

　　过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

　　∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，

　　S△PAB=1/2×AB×PH=1/2×2√2×PQ×√2/2=1，

　　则PQ＝yP﹣yQ＝1，

　　在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

　　则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，

　　故：|yP﹣yQ|＝1，

　　设点P（x，﹣x²﹣x 2），则点Q（x，x 2），

　　即：﹣x²﹣x 2﹣x﹣2＝±1，

　　解得：x＝﹣1或﹣1±√2，

　　故点P（﹣1，2）或（﹣1 √2，√2）或（﹣1-√2，-√2）．

　　【总结】

　　面积问题求法流程示意：

　　设未知数

　　↓

　　表示线段长

　　↓

　　表示面积

　　↓

　　建立等量关系

　　↓

　　解方程

　　↓

　　得出结论

　　【举一反三】