解题技能提升，面积法巧解中考难题，不应忽视的解题策略

几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。几何的英文单词“Geometry”中的“Geo”为土地之意，“metry”为测量之意。汉语“几何”术语是由徐光启和意大利传教士利玛实合译《几何原本》时所创建。

在古埃及和古巴比伦人的几何学基础上，古希腊人把几何学推进到一个新高度，坚持一切数学结果必须用逻辑证明推出这是古希腊人对数学的卓越贡献，正是这种理性精神孕育了西方科学。

古希腊最具影响的是大数学家欧几里德和他的巨著《几何原本》。有一次，国王问欧几里德学习几何有没有捷径，欧几里德回答道：“几何学中无王者之道。”这句话给人以启迪，便长久地流传下来。

从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条推导出成百上千条定理，这种思维模式是《几何原本》开创树立的，为人们提供了将知识条理化和严密化的有效手段。公理化思想的影响远超出了数学乃至科学领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。牛顿在《原理》第一版序言中盛赞几何演绎作用：“从极少数原理出发，而能推出如此丰富的结果，这正是几何学的光荣。”在《原理》中，牛顿提出了四条法则、八个原始定义、三条定理，然后通过严密的逻辑推理，得出大至宇宙、小至沙粒的运动定律，成为近代科学理论体系的楷模。

面积法是中学数学的一种重要方法,所谓面积法就是利用图形的面积关系,建立一个或几个关于图形面积的等式或不等式,然后通过推理、演算,以达到证题目的的一种方法.三角形面积是一个数量,通过三角形面积公式把面积、边、角之间关系互相沟通,以恰当的转换求解.应用面积法解题简洁、明了,面积法是解几何题的常用方法.面积法的理论依据是面积公式,当问题涉及如下方面时,不妨用面积法尝试求解.

(1)两个全等形面积相等;

(2)一个图形的面积等于它的各部分面积之和;

(3)等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等;

(4)等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应底边)之比;

(5)与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半.

面积法是中学数学中一种重要的证明方法.它在证明线段相等、角相等、不等关系、线段比例等方面都经常会用到.

例1.（南宁市中考题）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图①所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积。

面积计算常用到以下知识方法：常见图形面积公式、割补、等积变形、面积比与线段比的转化等.

平行线具有转移线段或角、等积变形等作用，在解决许多问题时具有不可替代的地位.等积变形，即运用平行线，把一个三角形变形成与它本身面积相等但形状不同的图形.

皮克公式，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点被称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为s，多边形各边上的格点个数为L，内部的格点个数为N，S可用N，L的式子表示（称为“皮克公式”）。

奥地利数学家皮克（1859-1943）于1899年发现了一个点阵中计算多边形面积的公式，也称皮克定理，是最重要的100个数学定理之一.

例2.如图，图中△ABC是格点三角形，其中S=2，N=0,L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是_____.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN bL c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=________（用数值作答）.

解析：本例以阅读理解的方式，考查皮克公式的建立及应用，问题给出了S=aN bl c这一关系，关系中含有a，b，c三个待定系数，需三组S，N，L的值，但现成的值只有两组，需动手画一个“格点多边形”.

例3（“创新杯”邀请赛试题）直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，点P到三边的距离分别为d1，d2，d3，求d1 d2 d3的最大值和最小值，并求当d1 d2 d3取最大值和最小值时，P点的位置.

解析：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，BA=13，点P到BC，CA，AB的距离分别为d，d，d，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：

用面积法解题的基本步骤是：（1）用不同方法或从不同角度计算某一图形的面积，得到一个含边或含角的关系式；（2）化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果。

有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边、角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法.

利玛窦盛赞《几何原本》之精，又陈述此书汉译之难，徐光启说：“呜呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微，必成之”，强烈的使命感、过人的勇气、坚定的决心，溢于言表。

两千多年前的古希腊数学以几何学为中心，欧几里得的《几何原本》是集古希腊几何学之大成。

在人类与自然的斗争中，平面几何知识对人类的生存与繁荣起着极其重要的作用，平面几何知识不仅使人类支配自身的力量，而且优化了人类自身的发展——人类理性思维的进步。

明277年里，取了英文名，信了天主教，写了一部《农政全书》的人，只有科学家徐光启一位。

万历二十一年（1593年），31岁的徐光启受聘到广东韶州教书，认识了第一个传教士朋友——意大利传教士郭居静，两人的相识，对于中国科学史产生了巨大影响。

1606年，徐光启与意大利传教士利玛窦合作，翻译出版了《几何原本》前六卷，西方数学开始传入中国.徐光启评价该书说：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得.”

“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者览其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”

“似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。”

解决面积问题的基本思考方法如下：

（1）分割：把尚无面积计算公式的图形，分割为若干已知其面积计算公式的图形。

（2）分割后重新组合：它与（1）的区别在于，分割后所得的每个图形的面积不一定都还有面积公式，这时，需把分割成的某些图形拼接，成为有面积公式的新图形。

（3）增添辅助面积：拼接一些可计算其面积的辅助图形，使与原图形组成一个可计算其面积的大图形.把大图形的面积算出后，减去这些辅助图形的面积，即得欲求图形的面积。

（4）用不同方式表达同一图形的面积：在利用面积证明线段或角相等时，注意对同一图形的面积用不同方式进行表达，从而列出面积等式，进行变形，向欲证目标靠拢，是一种重要技巧。