1道德国数学竞赛题：解方程组，看似很难，国内学生却说真简单

说起德国，相信很多人都会被德国的工业所折服，而这自然离不开德国的教育。本文就和大家分享一道德国初中数学竞赛题：解方程组x³+1-xy²-y²=0，y³+1-x²y-x²=0。这是一道二元三次方程组的题目，看似难度很大，但是国内学生却说非常简单。

下面我们一起来看一下这道德国竞赛题，看看究竟是难还是简单。

对于多元方程组来说，消元是基本思路。很明显，对于这道题二元一次方程组的代入消元法和加减消元法都是不可行的，那么究竟该怎么消元呢？

设第一个方程为①，第二个方程为②，①-②就可以得到：x³-y³-xy²+x²y-y²+x²=0，设为方程③。然后将方程③的左边分组进行因式分解。这儿出现了立方形式，需要用到一个立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)，这样就可以把方程③的左边分解为(x-y)(x+y)(x+y+1)的形式，这样就可以找到x和y的关系。

从上面的求解可以看出，x、y之间存在三种关系：x-y=0、x+y=0、x+y+1=0，所以下面需要分类讨论。

x-y=0时，y=x，然后代入方程①、②中的任意一个即可求出x。比如代入方程①，则可以得到x³+1-x·x²-x²=0，化简后得到x²=1，从而解得x=±1。

此时，当x=1时，y=1；

当x=-1时，y=-1。

当x+y=0时，y=-x，再代入方程①得到：x³+1-x(-x)²-(-x)²=0，即x³+1-x³-x²=0，化简后仍为x²=1，即x=±1。

所以，当x=1时，y=-1；

当x=-1时，y=1。

当x+y+1=0时，y=-x-1，代入方程①得到：x³+1-x(-x-1)²-(-x-1)²=0。化简后得到x²+x=0，解得x=0或者x=-1。

所以，当x=0时，y=-1；

当x=-1时，y=0。

从上面的三种讨论情况可以看出，本题的答案多达6组，保证不漏解就需要计算过程仔细，不出现错误，否则得不到完整的答案也是非常可惜的。本题的完整解题过程见下图：

本题对于部分同学来说难度还是比较大，主要是找不到消元的方法。一旦找到消元的方法，题目的难度就不大了，更多的就是考验计算能力了。因此国内不少学霸都说本题简单，你觉得呢？