公务员考试均值不等式行测极值问题

在行测考试中，数量关系作为一种必考题型。而大家在做这部分题目时，由于题目难度相对较大，很多同学往往耗费很长时间，而正确率却得不到保证，进而会影响到整套行测试卷的完成。如何能用较短的时间做对这部分的题目一直都是各位考生的痛点。其实究其原因，主要是因为对于数量关系题目的考点掌握不太好。今天就和大家来学习一下数量关系中的极值问题当中的一个考点：均值不等式。

所谓的均值不等式，大家可以直接掌握一句话：和定，差小，积大;积定，差小，和小。指的是当两个数和一定时，这两个数差越小，乘积就越大;而当两个数乘积一定时，这两个数差越小，和就越小。那均值不等式具体在做题中如何运用呢?

我们先来看下面的例题：

例1.直角三角形两直角边和为12，则该直角三角形面积最大为?

A.10 B.18

C.20 D.36

【答案】B。解析：题目所求为三角形面积最大，而我们知道对于直角三角形而言，面积应该等于直角边乘积的一半，所以要求直角边乘积最大。设两直角边为a和b，题目中说两直角边和为12，即a b=12，和一定。现求ab的最大值，即乘积最大值，此时想到和定差小，积大。所以当a与b差最小时，乘积最大。而a与b差要想最小，则a=b，此时两直角边均为6。则三角形面积为6×6÷2=18。

接下来再来看下面的例题：

例2.某市有一长方形广场，面积为2500平方米，则该广场周长至少为()米?

A.160 B.200

C.250 D.320

【答案】B。解析：题目所求为周长至少为多少，即周长最小值，而长方形周长为长加宽的2倍，设长和宽分别为a和b，则周长为2(a b)。要想周长最少，则a b要最小，即求的是和的最小值，而题目中说面积为2500，即ab=2500，乘积一定。所以根据均值不等式积定，差小，和小。可知当差最小时，即a=b=50时，a b的和为最小，此时周长为2(a b)=2(50 50)=200。

上面两道题目都是直接利用均值不等式进行求解，而在我们实际做题中，经常还会遇到一些题目利用均值不等式时要先做一些转换。比如我们看下面的例题。

例2.某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4元出售，则可卖出20万株，若苗木单价每提高0.4元，就会少卖1万株，问在最佳定价下，该公司最大收入为()万元

A.60 B.80

C.90 D.100

【答案】C。解析：要求公司最大收入，而我们知道总收入=每株收入×数量，设单价提高x个0.4元，此时少卖x个1万株，则总收入=(4 0.4x)(20-x)，所以求的是乘积的最大值，此时想到均值不等式，和定差小，积大。但题目中两个式子此时和不是定值，首先构造和一定，则需要消掉未知数x,所以给第二个式子乘以0.4，可得总收入为

，求分子最大值，二分子两个式子和为12，和一定，则差越小，乘积越大。所以差最小时即两个式子相等，即4 0.4x=8-0.4x，解得x=5，此时总收入为6×15=90万元。