函數y=x^2/(1+x)的單調和凸凹性質

 y=x^2/(1+x)

∵ 1+x≠0，

∴ x≠-1,則函數的定義域為：

(-∞,-1),(-1,+∞）。

∵ y=x^2/(1+x)

∴ y'=[2x(1+x)-x^2]/(1+x)^2

=x(x+2)/(1+x)^2.

令y'=0，則x1=0，x2=-2,則函數的單調性及區間為：

(1).當x∈(-∞,-2],[0,+∞)時，y'>0,

此時函數為增函數；

(2).當x∈(-2,-1),(-1,0)時，y'<0,

此時函數為減函數。

∵y''=(x^2+2x)/(1+x)^2.

∴y''

=[(2x+2)(1+x)^2-2(x^2+2x)(1+x)]/(1+x)^4

=[(2x+2)(1+x)-2(x^2+2x)]/(1+x)^3

=2/(1+x)^3>0,

即函數y在定義域上為凹函數。