清華自主招生數學題: 已知f(x)=x³-6, 求方程f(f(x))=x的解

大家好！今天和大家分享一道清華大學自主招生考試的數學題：已知f(x)=x³-6，求方程f(f(x))=x的解。清華大學作為海內最頂尖的高校之一，自主招生考試題天然不會很簡樸。就像這道題一樣，看似簡樸，卻難住了不少的考生。

下面我們一起來看一下這道問題。

這是一道函數與方程的綜合題。

根據常規思路，要解方程，那麼首先要把這個方程的完整形式呈現出來。這個方程的右邊很簡樸，我們需要先把左邊部門給表示出來。

由於f(x)=x³-6，所以根據複合函數的概念可以得到f(f(x))=f³(x)-6=(x³-6)³-6=x。此時，方程的形式終於完整呈現出來了，如下圖。

計算到這兒此題都還算正常，可是這個方程怎麼解呢？假如是硬解，也方程是一個九次的高次方程，難度可想而知，所以一定有更加簡樸的方法。

先觀察一下方程的形式，泛起兩個3次冪的形式：x³和(x³-6)³，那麼我們可以考慮能否用到立方和或者立方差公式呢？公式如下圖：

假如從x³-6入手利用立方差公式變形，那麼離6最近的一個立方數是8，那麼x³-6可以寫成x³-8+2，其中x³-8=(x-2)(x²+2x+4)，但是這樣處理後，後面又怎麼處理呢？後面並不好處理，所以這樣變形沒有達到預期效果，然後可以考慮在外層使用立方差公式變形。

外層(x³-6)³-6可以變形為(x³-6)³-8+2，對(x³-6)³-8因式分解可以得到(x³-6-2)[(x³-6)²+2(x³-6)+4]=(x³-8)[(x³-6)²+2(x³-6)+4]，再繼承分解可以得到(x-2)(x²+2x+4)[(x³-6)²+2(x³-6)+4]。此時泛起了x-2這一項，再回過頭看一下，剛才左邊加了一個2，假如移到右邊，右邊也泛起了x-2這一項，此時分解因式就算是完成了。如下圖：

計算到這一步，已經可以看出方程的一個根為2，接下來就需要對後面這個因式對應的方程進行求解。後面這部分假如要直接解，也是非常難的，所以也需要從形式入手，找到更簡樸的方法。

由於在實數範圍內，x²+2x+4=(x+1)²+3≥3，同理(x³-6)²+2(x³-6)+4配方後也是大於即是3，所以到(x²+2x+4)[(x³-6)²+2(x³-6)+4]＞9(留意不能即是9，由於兩個3取等前提不一樣)。所以在實數範圍內，後面這部分是沒有解的。綜上，還方程的解就是2。

完整過程如下圖：

這道清華自主招生考試題的難點是用立方差公式對方程進行變形，從而進行因式分解。你做對了嗎？