帶絕對值函數f(x)≥-x+a在x∈R上恆成立求a的範圍?化成分段函數

原題

原題:已知函數f(x)=|2x-2|-|x+2|,當x∈R時,f(x)≥-x+a恆成立,求實數a的取值範圍?

帶絕對值函數f(x)≥-x+a在x∈R上恆成立求a的範圍?化成分段函數

那這道題該如何解決呢?

首先去絕對值變成分段函數

去絕對值的原則就是要保證帶絕對值的數值都是正數值。

當x≤-2時,f(x)=-x+4;

當-2<x<1時,f(x)=-3x;

當x≥1時,f(x)=x-4.

所以上述帶絕對值的函數就變成了分段函數,將問題就轉化成這個分段函數大於等於直線y=-x+a恆成立的問題。

因為對於任意的x都滿足f(x)≥-x+a這個不等式,所以只要當直線y=-x+a平移過程中小於等於該分段函數的最小值就可。

畫出分段函數圖像找到其最小值

對於分段函數在斜率為-1的直線方向上求該分段函數的最小值,可以藉助圖像來解答。

帶絕對值函數f(x)≥-x+a在x∈R上恆成立求a的範圍?化成分段函數

如圖二,當直線=-x+a向右平移到點(1,-3)時,開始與分段函數有交點,所以要想保證在任意x值時都小於等於分段函數,則當x=1時的值小於等於-3,即-1+a≤-3,解得出a≤-2。

具體做法

第一步,去掉絕對值變成分段函數。

第二步,做出分段函數的圖像。

第三步,將不等式看成是分段函數和直線方程,移動方程找到臨界值。

第四步,求出結果。

具體做法如圖:

帶絕對值函數f(x)≥-x+a在x∈R上恆成立求a的範圍?化成分段函數

如果不通過圖像解決該題,也可以通過分佈討論的方法求出每一步的a的取值範圍,最後取交集,從而得出a的取值範圍。

具體解法如下:

當x≤-2時,函數是-x+4,則該不等式轉化為-x+4≥-x+a在x∈R上恆成立,解得a≤4;

當-2<x<1時,函數是-3x,則該不等式轉化為-3x≥-x+a在x∈R上恆成立,解得a≤-2;

當x≥1時,函數是x-4,則該不等式轉化為x-4≥-x+a在x∈R上恆成立,解得a≤-2;

綜上所述,實數a的取值範圍為(-∞,-2).

總結

解決絕對值的題型時,一般都是先去掉絕對值。而恆成立的問題時,都是找到不等號兩邊函數的最大值或者是最小值時去求解,一般求解的過程中,還經常需要藉助圖形來幫助解決問題。

所以上述的問題就是將這兩種情況融合在一起了,即先去掉絕對值,然後再求去掉絕對值時形成的分段函數的最小值,只要滿足最小值都大於等於另一個函數,就達到了對於取任意的x的值時不等式恆成立的情況。

該題比較簡單,重在方法,學霸莫挑!

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