一、數學閲卷流程
題型一、三角形解答題
高考真題：
(一)評分標準展示——看細節
三角函數題目屬於高考題中的低中檔題,但每年考生的得分情況都不理想,如公式記憶不清、解題方法不明、解題方法選擇不當等問題屢屢出現,不能保證作答“會而對,對而全,全而美”.下面就以2017年高考數學全國卷Ⅰ理科第17題為例進行分析説明.
1.知識性錯誤
(2016全國,文17)(本小題滿分12分)已知是公差為3的等差數列,數列滿足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求的通項公式;(2)求的前n項和.
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解法二
題型三、概率與統計解答題
(2017全國2,文19)(本小題滿分12分)海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比,收穫時各隨機抽取了100個網箱,測量各箱水產品的產量(單位:kg),其頻率分佈直方圖如下:
(2)填寫下面列聯表,並根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關;
(3)根據箱產量的頻率分佈直方圖,對這兩種養殖方法的優劣進行比較.
(一)評分標準展示——看細節
1.正確閲讀理解,弄清題意:與概率統計有關的應用問題經常以實際生活為背景,且常考常新,而解決問題的關鍵是理解題意,弄清本質,將實際問題轉化為數學問題求解.
2.對互斥事件要把握住不能同時發生,而對於對立事件除不能同時發生外,其並事件應為必然事件,這些也可類比集合進行理解,具體應用時,可把所有試驗結果寫出來,看所求事件包含哪幾個試驗結果,從而斷定所給事件的關係.
3.用頻率分佈直方圖解決相關問題時,應正確理解圖表中各個量的意義,識圖掌握信息是解決該類問題的關鍵.
4.某些數據的變動對中位數可能沒有影響.中位數可能出現在所給數據中,也可能不在所給數據中.當一組數據中的個別數據變動較大時,可用中位數描述其集中趨勢.平均數與方差都是重要的數字特徵,是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有着重要的實際意義,平均數、中位數、眾數描述其集中趨勢,方差和標準差描述其波動大小.
5.獨立性檢驗的注意事項
(1)在列聯表中注意事件的對應及相關值的確定,不可混淆.K2的觀測值k的計算公式很複雜,在解題中易混淆一些數據的意義,代入公式時出錯,而導致整個計算結果出錯.
(2)對判斷結果進行描述時,注意對象的選取要準確無誤,應是對假設結論進行的含概率的判斷,而非其他.
(三)新題好題演練——成習慣
(2018四川涼山診斷性檢測)為了解男性家長和女性家長對高中學生成人禮儀式的接受程度,某中學團委以問卷形式調查了50位家長,得到如下統計表:
(1)據此樣本,能否有99%的把握認為“接受程度”與家長性別有關?説明理由;
(2)學校決定從男性家長中按分層抽樣方法選出5人蔘加今年的高中學生成人禮儀式,並從中選2人交流發言,求發言人中至多一人持“贊成”態度的概率.
參考數據
(2017全國3,文19)(本小題滿分12分)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為稜BD上與D不重合的點,且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.
(一)評分標準展示——看細節
1.證明線面垂直時,不要忽視“面內兩條直線為相交直線”這一條件,如第(1)問中,學生易忽視“DO∩BO=O”,導致條件不全而減分;
2.求四面體的體積時,要注意“等體積法”的應用,即合理轉化四面體的頂點和底面,目的是底面積和頂點到底面的距離容易求得;
3.注意利用第(1)問的結果:在題設條件下,如果第(1)問的結果第(2)問能用得上,可以直接用,有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決,如本題中,由(1)及題設知∠ADC=90°.
4.要注意書寫過程規範,計算結果正確.書寫規範是計算正確的前提,在高考這一特定的環境下,學生更要保持規範書寫,力爭一次成功,但部分學生因平時習慣,解答過程中書寫混亂,導致失誤過多.
(四)新題好題演練——成習慣
(一)評分標準展示——看細節
(2017全國2,文21)(本小題滿分12分)設函數f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值範圍.
(一)評分標準展示——看細節
解法二設g(x)=(x2-1)ex+ax+1,x≥0,
則g(x)≥恆成立.
g'(x)=(x2+2x-1)ex+a.
g″(x)=(x2+4x+1)·e2>0,g'(x)在區間[0,+∞)內單調遞增.
當a≥1時,g'(x)≥g'(0)=-1+a>0,此時g(x)在區間[0,+∞)內單調遞增,g(x)≥g(x)=0,符合題意.
當a1時,g'(0)=-1+a0,
當x≥1時,x2+2x-1≥2,
取x1=ln(e+a),
則g'(x1)≥2(e+|a|)+a=2e+|a|+(|a|+a)>0,
故存在x>0,使得g'(x)=0,且當x∈(0,x)時,g'(x)0,此時g(x)單調遞減,g(x)(0)=0,不符合題意.
綜上所述,a的取值範圍是[1,+∞).
解法三構造函數g(x)=(1-x2)ex-ax-1,則g'(x)=(-x2-2x+1)ex-a.
因為g(0)=0,故一定存在x>0,使得x∈[0,x]時,g'(x)≤.(若不然,即任意x>0,x∈[0,x]時g'(x)>0,則x∈(0,x),g(x)>時,不符合題意).從而有g'(0)=1-a≤0,即a≥1.
下面證明a=1時,g(x)=(1-x2)ex-x-1≤0(x≥0)恆成立.由於g'(x)=(-x2-2x+1)ex-1,g″(x)=(-x2-4x-1)ex0,知g'(x)在[0,+∞)內單調遞減,且g'(0)=0,故g'(x)≤0,[g(x)]max=g(0)=≤0,故a的取值範圍是[1,+∞).(也可直接證明a≥1時,g(x)=f(x)-ax-1≤成立)
(三)閲卷老師提醒——明原因
1.利用導數研究函數或不等式問題時,正確求導是第一步,也是關鍵一步,而學生往往開始求導就出現錯誤,後面的運算全部變成了無用功;
2.分類討論解決問題時,首先要明確分類的依據和標準;分類討論思想是高中數學中的一種重要思想,也是學生的難點,關鍵要搞清“為什麼要討論?”“如何去討論”,如本題中,需要討論a與0,1的大小關係.
3.要注意書寫過程規範,計算結果正確.書寫規範是計算正確的前提,在高考這一特定的環境下,學生更要保持規範書寫,力爭一次成功,但部分學生因平時習慣,解答過程中書寫混亂,導致失誤過多.
(四)新題好題演練——成習慣
(2018河北保定一模)已知函數f(x)=x+.
(1)判斷函數f(x)的單調性;
(2)設函數g(x)=lnx+1,證明:當x∈(0,+∞),且a>時,f(x)>g(x).
(1)解因為f'(x)=1-(x≠0),
若a≤0,f'(x)>0,
∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)為增函數;
若a>0,則f'(x)>0x2-a>0x或x>,
f'(x)0x2-a0-(a≠0),
∴函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-),(,+∞),
單調遞減區間為(-,0),(0,);
1.基本的定義、公式,方法要掌握牢固:本題第(1)問考查消參求軌跡方程的問題,屬於基本問題,第二問求解點在極座標系下的極徑,屬於基礎概念的考查,但是要求對基本的概念和公式能夠熟練理解和掌握.
2.注意利用第(1)問的結果:在題設條件下,如果第(1)問的結果第(2)問能用得上,可以直接用,有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決,如本題即是在第(1)問的基礎上進行計算求解極徑問題.
3.寫全得分關鍵:寫清解題過程的關鍵點,有則給分,無則沒有分,同時解題過程中計算準確,是得分的根本保證.如本題第(1)問要寫出直角座標方程,注意所得的軌跡方程不包括y軸上的點.第(2)問中方程的思想很重要,聯立極座標方程求解極徑、極角體現出方程思想的無處不在.
(四)新題好題演練——成習慣
(2017全國3,文23)(本小題滿分10分)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值範圍.
(一)評分標準展示——看細節
1.基本的定義、公式、方法要掌握牢固:本題第(1)問考查絕對值不等式的解法,屬於基本問題,第(2)問求解參數的取值範圍,要求同學們能夠結合恆成立的條件進行靈活變形處理.
2.注意利用第(1)問的結果:在題設條件下,如果第(1)問的結果第(2)問能用得上,可以直接用,有些題目不用第(1)問的結果甚至無法解決,如本題即是將原問題轉化為求解最值的問題來確定參數的取值範圍.
3.寫全得分關鍵:寫清解題過程的關鍵點,有則給分,無則沒有分,同時解題過程中計算準確,是得分的根本保證.如本題第(1)問要寫出分段函數的形式,分段求解不等式的解集.第(2)問中轉化的思想很重要,將原問題轉化為求解最值的問題即可,轉化的思想是高中數學的重要數學思想之一.
(四)新題好題演練——成習慣
高考數學閲卷對知識點和步驟的把握,公正客觀,本着給分有理扣分有據的原則,尋找得分點,否則寫再多也是徒勞的.但是也並非完全無情,比如有少數考生答題錯位,會被要求作為異常試卷提交,由專家組特殊處理,而不是直接判了零分等.為此,總結如下解題中需要把握的準則:
1.閲卷速度以秒計,規範答題少丟分
高考閲卷評分標準非常細,按步驟、得分點給分,評閲分步驟、採“點”給分.關鍵步驟,有則給分,無則沒分.所以考場答題應儘量按得分點、步驟規範書寫.閲卷中強調關注結果,過程可採用不同的方法闡述.
2.不求巧妙用通法,通性通法要強化
高考評分細則只對主要解題方法,也是最基本的方法,給出詳細得分標準,所以用常規方法往往與參考答案一致,比較容易抓住得分點.閲卷中把握見點得分,踩點得分,上下不牽連的原則.
3.乾淨整潔保得分,簡明扼要是關鍵
若書寫整潔,表達清楚,一定會得到合理或偏高的分數,若不規範可能就會吃虧.若寫錯需改正,只需劃去,不要亂塗亂劃,否則易丟分.
4.狠抓基礎保成績,分步解決克難題
(1)基礎題爭取得滿分.涉及的定理、公式要準確,數學語言要規範,仔細計算,爭取前3個解答題及選考不丟分.
(2)壓軸題爭取多得分.第(1)問一般難度不大,要保證得分,第(2)問若不會,也要根據條件或第(1)問的結論推出一些結論,可能就是得分點.