大家好！今天和大家分享一道清華大學自主招生考試的數學題：已知f(x)=x3-6，求方程f(f(x))=x的解。清華大學作為國內最頂尖的高校之一，自主招生考試題自然不會很簡單。就像這道題一樣，看似簡單，卻難住了不少的考生。
下面我們一起來看一下這道題目。
這是一道函數與方程的綜合題。
根據常規思路，要解方程，那麼首先要把這個方程的完整形式呈現出來。這個方程的右邊很簡單，我們需要先把左邊部分給表示出來。
因為f(x)=x3-6，所以根據複合函數的概念可以得到f(f(x))=f3(x)-6=(x3-6)3-6=x。此時，方程的形式終於完整呈現出來了，如下圖。
計算到這兒此題都還算正常，可是這個方程怎麼解呢？如果是硬解，也方程是一個九次的高次方程，難度可想而知，所以一定有更加簡單的方法。
先觀察一下方程的形式，出現兩個3次冪的形式：x3和(x3-6)3，那麼我們可以考慮能否用到立方和或者立方差公式呢？公式如下圖：
如果從x3-6入手利用立方差公式變形，那麼離6最近的一個立方數是8，那麼x3-6可以寫成x3-8+2，其中x3-8=(x-2)(x2+2x+4)，但是這樣處理後，後面又怎麼處理呢？後面並不好處理，所以這樣變形沒有達到預期效果，然後可以考慮在外層使用立方差公式變形。
外層(x3-6)3-6可以變形為(x3-6)3-8+2，對(x3-6)3-8因式分解可以得到(x3-6-2)[(x3-6)2+2(x3-6)+4]=(x3-8)[(x3-6)2+2(x3-6)+4]，再繼續分解可以得到(x-2)(x2+2x+4)[(x3-6)2+2(x3-6)+4]。此時出現了x-2這一項，再回過頭看一下，剛才左邊加了一個2，如果移到右邊，右邊也出現了x-2這一項，此時分解因式就算是完成了。如下圖：
計算到這一步，已經可以看出方程的一個根為2，接下來就需要對後面這個因式對應的方程進行求解。後面這部分如果要直接解，也是非常難的，所以也需要從形式入手，找到更簡單的方法。
因為在實數範圍內，x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，同理(x3-6)2+2(x3-6)+4配方後也是大於等於3，所以到(x2+2x+4)[(x3-6)2+2(x3-6)+4]＞9(注意不能等於9，因為兩個3取等條件不一樣)。所以在實數範圍內，後面這部分是沒有解的。綜上，還方程的解就是2。
完整過程如下圖：
這道清華自主招生考試題的難點是用立方差公式對方程進行變形，從而進行因式分解。你做對了嗎？