對稱變換
【將軍飲馬】
據説古代希臘有一位將軍向當時的大學者海倫請教一個問題：從A地出發到河邊飲馬，再到B地（如圖4.32所示），走什麼樣的路最近？如何確定飲馬的地點？
海倫的方法是這樣的：如圖4.33，設L為河，作AO⊥L交L於O點，延長AO至A＇，使A＇O=AO。連結A＇B，交L於C，則C點就是所要求的飲馬地點。再連結AC，則路程（AC+CB）為最短的路程。
為什麼呢？因為A＇是A點關於L的對稱點，AC與A＇C是相等的。而A＇B是一條線段，所以A＇B是連結A＇、B這兩點間的所有線中，最短的一條，所以AC+CB=A＇C+CB=A＇B也是最短的一條路了。這就是海倫運用對稱變換，找到的一種最巧妙的解題方法。運用這種辦法，可以巧妙地解決許多幾何問題。
【劃線均分】
通過中心對稱圖形的對稱中心，任意畫一條直線，都可以把原圖形均分成兩個大小、形狀完全相同的圖形。利用這一性質，可以使某些較複雜的問題迅速地解答出來。例如
（1）把圖形（圖4.34）的面積，用一條直線分成相等的兩個部分。
解題時，只要把這個圖形看成是由兩個矩形（長方形）組成的組合圖形，而矩形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形， 所以只要找出兩個對稱中心（對角線交點），利用中心對稱圖形的上述性質，通過兩個對稱中心作一條直線，就能把它的面積分成相等的兩個部分了。如前頁的三種分法都行（如圖4.35所示）。
（2）如圖4.36，長方形ABCD內有一個以O點為圓心的圓，請畫一條直線，同時將長方形和圓分為面積相等的兩個部分。
大家知道，長方形和圓都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。長方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是它的圓心。
根據中心對稱圖形的上述性質，先找出這兩個對稱中心O點和P點（如圖4.37），再過O、P作直線L，此直線L即是所畫的那根直線。
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