如果你能吃透這種題,數學肯定在110分以上,不信就試試看
函數與幾何有關的試題作為中考數學的必考重難點,在中考裏佔據着重要的位置,毫不誇張的説全國各地中考壓軸題都屬於此類題型。在解函數與幾何有關試題的時候,大家一定要明白一點,此類綜合問題不像求解單純幾何問題或單純函數問題那麼簡單,需綜合考慮函數知識與幾何知識之間的內在聯繫。
如在一些問題裏需考慮幾何元素之間的函數關係問題,解這類問題應根據幾何圖形的性質,建立函數與自變量表示的幾何元素之間的等量關係等。或者是先根據函數解析式求出有關點的座標(如圖像與座標軸交點,兩圖像交點等),其次依據點的座標求出有關線段的長度,最後利用有關定理、性質、公式即可使問題獲解。
在中考數學裏,函數與幾何有關的綜合問題一直是讓考生非常頭疼的試題,它既是重難點問題,又是考查學生分析問題和解決問題的能力問題。要想成功解決此類問題,考生除了加強訓練,還要培養良好的解題習慣,注重思維方法的訓練,理解數形結合思想方法等,定能順利解決問題。
同時,函數與幾何有關的綜合問題藴含着豐富的數學思想方法,如數形結合思想。數形結合是在研究問題時把數和形結合起來考慮,或者把問題的數量關係轉化為圖形的性質,或者把圖形的性質轉化為數量關係,從而使複雜的問題簡單化,抽象的問題具體化。通過直角座標系這個工具,有機地進行數形轉換,如在解函數與幾何的綜合題,先求出點的座標,進而求出函數解析式是解題的基礎,同時充分發揮形的因素,實現數形互動,通過座標把證明與計算相結合是解題的關鍵。
己知:二次函數y=ax²+bx+6(a≠0)與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),點A、點B的橫座標是一元二次方程x²﹣4x﹣12=0的兩個根.
(1)請直接寫出點A、點B的座標.
(2)請求出該二次函數表達式及對稱軸和頂點座標.
(3)如圖1,在二次函數對稱軸上是否存在點P,使△APC的周長最小,若存在,請求出點P的座標;若不存在,請説明理由.
(4)如圖2,連接AC、BC,點Q是線段0B上一個動點(點Q不與點0、B重合).過點Q作QD∥AC交BC於點D,設Q點座標(m,0),當△CDQ面積S最大時,求m的值.
二次函數綜合題;綜合題。
題幹分析:
(1)解一元二次方程x²﹣4x﹣12=0可求A、B兩點座標;
(2)將A、B兩點座標代入二次函數y=ax²+bx+6,可求二次函數解析式,配方為頂點式,可求對稱軸及頂點座標;
(3)作點C關於拋物線對稱軸的對稱點C′,連接AC′,交拋物線對稱軸於P點,連接CP,P點即為所求;
(4) 由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA,利用相似比表示△BDQ的面積,利用三角形面積公式表示△ACQ的面積,根據S△CDQ=S△ABC﹣S△BDQ﹣S△ACQ,運用二次函數的性質求面積最大時,m的值.
解題反思:
本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是根據已知條件求拋物線解析式,根據拋物線的對稱性,相似三角形的知識解題。
同時函數與幾何有關的綜合問題會把函數、方程、不等式等知識聯繫起來,求解的關鍵是要深挖圖形的幾何意義,以形為手段,數為目的,依靠形的直觀具體,藉助座標來表明數式之間的關係。
函數與幾何有關的綜合問題分析,典型例題2:
如圖,已知拋物線經過定點A(1,0),它的頂點P是y軸正半軸上的一個動點,P點關於x軸的對稱點為P′,過P′作x軸的平行線交拋物線於B.D兩點(B點在y軸右側),直線BA交y軸於C點.按從特殊到一般的規律探究線段CA與CB的比值:
(1)當P點座標為(0,1)時,寫出拋物線的解析式並求線段CA與CB的比值;
(2)若P點座標為(0,m)時(m為任意正實數),線段CA與CB的比值是否與(1)所求的比值相同?請説明理由.
二次函數綜合題.
題幹分析:
(1)根據拋物線經過A(1,0),設拋物線的解析式為y=ax²+1,首先得出二次函數解析式,進而得出P'點的座標,從而得出B點座標,再利用△CP′B∽△COA,得出線段CA與CB的比值;
(2)根據設拋物線的解析式為y=ax²+m(a≠0),得出y=﹣mx²+m,首先表示出B點的座標,進而利用△CP′B∽△COA,得出線段CA與CB的比值.
解題反思:
此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的性質,得出根據P′B=√2,再利用△CP′B∽△COA,得出是解決問題的關鍵.
在函數關係式下求解析式問題,或是在幾何圖形下求幾何問題,這類型問題的解決方法是圖形座標化,通過座標這個切入點,架起數到形的橋樑,由數量關係來研究幾何圖形的性質,解決幾何問題是以函數為背景探求幾何性質,利用函數的性質,解決幾個主要點的座標問題,使幾何知識和函數知識有機而自然地結合起來。
善於利用平面直角座標系,就可以實現從數到形,也可從形到數,即觀察圖形的形狀,分析數與式的結構,適時通過座標將它們相互轉換,化抽象為直觀並提示隱含的數量關係,大大減輕了數形轉換的難度。
函數與幾何有關的壓軸題,一直是近年來中考數學命題的熱點 這類試題知識點眾多,解法靈活,形式多樣,綜合性強,難度大,要求大傢俱有很強的分析推理能力。
縱觀近幾年各地中考試卷中的函數與幾何壓軸題,從知識結構來看可分為兩大類型,即幾何含函數型和函數含幾何型,這類題目是以幾何圖形為載體,求幾何圖形中某些幾何量之間的函數關係式.其解題方法是利用幾何圖形的有關性質,列出幾何元素之間的等量關係,並將這種關係轉化成函數關係,最後利用函數的性質解答問題。