本文作者：劉瑞祥，[遇見] 這裏感謝劉老師投稿支持！
不等式，在很多人的眼裏好像不如等式重要，的確，等式能告訴我們精確的信息，而不等式不能告訴我們什麼呢？但是，這種輕視不等式的看法恐怕大錯特錯。本文就隨便講幾個重要的不等式。
我要談的第一個重要的不等式是所謂“三角形不等式”，即 AB+BC≥AC，用文字表達即為“兩點之間直線距離最短”。什麼是“距離”，以及“兩點之間”除了“直線距離”還有沒有別的“距離”，這些問題已經超出了我的能力。我要説的是，雖然即使是小貓小狗也天然地懂這個不等式，但我們不要小看它，因為數學中的“度量空間”就是以之為定義的，當然還有另外兩個要求：一是任意兩點間距離為非負數，當且僅當兩點重合時為零；二是 A 到 B 的距離等於 B 到 A 的距離。
在應用上，這個不等式也非常重要。在《思考的樂趣——Matrix67 數學筆記》這本書裏，作者顧森曾經提出過一個不等式：
如果用代數方法證明這個問題將極為繁瑣，但如果轉化為幾何問題，那無非就是這個不等式。
再比如著名的“將軍飲馬”問題：在直線上找一點，使同側的 A、B 兩點到該點距離之和為最小。下面這個問題：以已知點 A、B 為焦點的橢圓與已知直線 l 相切，求這個切點。這裏的難點是橢圓並沒有畫出，如果按照常規思考，似乎並沒有頭緒，但是如果考慮到光學中的“費馬原理”，再結合這裏提到的“將軍飲馬”，問題迎刃而解。
在代數上，我所知道的最重要的不等式可能是所謂的平均值不等式，即：
這個不等式的一個常見用途是求最大、最小值，比如已知正數 x 和 y 的乘積為某個定值，則我們可以求出 mx+ny 的最小值，其中 m、n 均為正值。原來還有這種操作？-->不過我當年第一次看到這樣的例題時還是吃了一驚。——原來還有這種操作？當然，這個均值不等式還可以推廣到任意多個正數的情況，這裏就不再證明了。
下面給出最簡單形式的柯西不等式：
這顯然就是前面平均值不等式的一個變形。這也説明，複雜、“高級”的數學知識，是可以從比較初等的數學中發展出來的。
和均值不等式比較接近的還有一個：
這個不等式直接證明起來也有點麻煩，但是有很多方法可以用來理解之：比如設 a、c 都是路程，b、d 是對應的時間，則表示平均速度在最大速度和最小速度之間；如果設 a、c 都是溶質質量，b、d 都是溶液質量，則表示混合後的溶液濃度介於原來兩部分溶液之間，類似還可以看作坡度等等。
“極限”的 ε-δ 定義也是用不等式建立的。這使“極限”一詞擺脱了那種依賴於直觀的模糊圖像，變得可以真正被用來研究數學問題了。假如沒有這個定義，我們遇到“極限”的時候只能説“越來越接近”，這對於數學證明沒有絲毫作用。類似的，判斷極限是否存在的柯西準則，以及夾擠定理，都需要不等式。
這個定義除了直接證明某個函數的極限外，還用來證明極限的運算法則（函數和差積商的極限等於函數極限的和差積商）以及可以證明若干函數不存在指定的極限。但有些微積分教材只給出了函數和的極限等於極限和的證明，如何證明其它幾個運算法則？我強烈建議教師一定要把這個問題講一遍，否則會造成學生的重大遺憾——我本人就是一個例子。
另外的一個證明極限的方法是用增減性，結合上（下）確界定理進行證明。而這也都需要不等式，比如要證明級數
收斂。首先可以判斷這個級數隨着 n 的增大單調遞增，然後將其放大到
（除了首項），再證明這個新的級數小於 1 即可。不等式在微積分中的運用當然絕不僅以上幾點，這只是略談數例而已。
魯道夫·克勞修斯（左）、海森堡（右）
最後一段聊聊物理吧。雖然我們通常接觸的物理定律都是等式形式的，但熱力學第二定律卻是一個不等式。雖然因為涉及到概率，它給人的感覺是地位似乎不如其它定律穩固，但卻是我們得以活下去的基礎——從來沒有人擔心某一天所有的空氣分子都擠到房屋一角而導致自己窒息。一位物理學家曾經説過：如果你提出的理論和其它物理定律相矛盾，那麼你很可能獲得榮譽，但如果是和熱力學第二定律矛盾，則你獲得的將只有羞辱。（大意）這句話説明了這個定律的堅實程度。物理學裏另外一個和不等式有密切關係的例子是所謂“測不準關係”。巧得很，它所屬的“量子力學”也和概率有着密切聯繫。順便説一句，我國著名科學史專家，玻爾集的翻譯者戈革先生，曾經在其著作《史情室文帚》裏對玻爾的“對應原理”作過一番梳理，説這個原理在運用時也涉及到“幾率”（上冊，P28、P448 兩處）。這是一句題外話了。
以上關於“不等式”的話題很不成系統，故謂之“雜談”。