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第一章 勾股定理
1、探索勾股定理
① 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼a2+b2=c2
2、一定是直角三角形嗎
① 如果三角形的三邊長a b c滿足a2+b2=c2 ，那麼這個三角形一定是直角三角形
3、勾股定理的應用
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第二章 實數
1、認識無理數
① 有理數：總是可以用有限小數和無限循環小數表示
② 無理數：無限不循環小數
2、平方根
① 算數平方根：一般地，如果一個正數x的平方等於a，即x2=a，那麼這個正數x就叫做a的算數平方根
② 特別地，我們規定：0的算數平方根是0
③ 平方根：一般地，如果一個數x的平方等於a，即x2=a。那麼這個數x就叫做a的平方根，也叫做二次方根
④ 一個正數有兩個平方根；0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根
⑤ 正數有兩個平方根，一個是a的算數平方，另一個是—，它們互為相反數，這兩個平方根合起來可記作±
⑥ 開平方：求一個數a的平方根的運算叫做開平方，a叫做被開方數
3、立方根
① 立方根：一般地，如果一個數x的立方等於a，即x3=a，那麼這個數x就叫做a的立方根，也叫三次方根
② 每個數都有一個立方根，正數的立方根是正數;0立方根是0；負數的立方根是負數。
③ 開立方：求一個數a的立方根的運算叫做開立方，a叫做被開方數
4、估算
① 估算，一般結果是相對複雜的小數，估算有精確位數
5、用計算機開平方
6、實數
① 實數：有理數和無理數的統稱
② 實數也可以分為正實數、0、負實數
③ 每一個實數都可以在數軸上表示，數軸上每一個點都對應一個實數，在數軸上，右邊的點永遠比左邊的點表示的數大
7、二次根式
① 含義：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被開方數
② =（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）
③ 最簡二次根式：一般地，被開方數不含分母，也不含能開的盡方的因數或因式，這樣的二次根式，叫做最簡二次根式
④ 化簡時，通常要求最終結果中分母不含有根號，而且各個二次根式時最簡二次根式
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第三章 位置與座標
1、確定位置
① 在平面內，確定一個物體的位置一般需要兩個數據
2、平面直角座標系
① 含義：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸組成平面直角座標系
② 通常地，兩條數軸分別置於水平位置與豎直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做x軸或者橫軸，豎直的數軸叫y軸和縱軸，二者統稱為座標軸，它們的公共原點o被稱為直角座標系的原點
③ 建立了平面直角座標系，平面內的點就可以用一組有序實數對來表示
④ 在平面直角座標系中，兩條座標軸將座標平面分成了四部分，右上方的部分叫第一象限，其他三部分按逆時針方向叫做第二象限，第三象限，第四象限，座標軸上的點不在任何一個象限
⑤ 在直角座標系中，對於平面上任意一點，都有唯一的一個有序實數對（即點的座標）與它對應；反過來，對於任意一個有序實數對，都有平面上唯一的一點與它對應
3、軸對稱與座標變化
① 關於x軸對稱的兩個點的座標，橫座標相同，縱座標互為相反數；關於y軸對稱的兩個點的座標，縱座標相同，橫座標互為相反數
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第四章 一次函數
1、函數
① 一般地，如果在一個變化過程中有兩個變量x和y，並且對於變量x的每一個值，變量y都有唯一的值與它對應，那麼我們稱y是x的函數其中x是自變量
② 表示函數的方法一般有：列表法、關係式法和圖象法
③ 對於自變量在可取值範圍內的一個確定的值a，函數有唯一確定的對應值，這個對應值稱為當自變量等於a的函數值
2、一次函數與正比例函數
① 若兩個變量x，y間的對應關係可以表示成y=kx+b（k、b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數，特別的，當b=0時，稱y是x的正比例函數
3、一次函數的圖像
① 正比例函數y=kx的圖像是一條經過原點（0，0）的直線。因此，畫正比例函數圖像是，只要再確定一點，過這個點與原點畫直線就可以了
② 在正比例函數y=kx中，當k＞0時，y的值隨着x值的增大而減小；當k＜0時，y的值隨着x的值增大而減小
③ 一次函數y=kx+b的圖像是一條直線，因此畫一次函數圖像時，只要確定兩個點，再過這兩點畫直線就可以了。一次函數y=kx+b的圖像也稱為直線y=kx+b
④ 一次函數y=kx+b的圖像經過點（0，b）。當k＞0時，y的值隨着x值的增大而增大；當k＜0時，y的值隨着x值的增大而減小
4、一次函數的應用
① 一般地，當一次函數y=kx+b的函數值為0時，相應的自變量的值就是方程kx+b=0的解，從圖像上看，一次函數y=kx+b的圖像與x軸交點的橫座標就是方程kx+b=0
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第五章 二元一次方程組
1、認識二元一次方程組
① 含有兩個未知數，並且所含有未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程
② 共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組
③ 二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解
2、求解二元一次方程組
① 將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，並代入另個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程，這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法
② 通過兩式子加減，消去其中一個未知數，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法
3、應用二元一次方程組
① 雞兔同籠
4、應用二元一次方程組
① 增減收支
5、應用二元一次方程組
① 里程碑上的數
6、二元一次方程組與一次函數
① 一般地，以一個二元一次方程的解為座標的點組成的圖像與相應的一次函數的圖像相同，是一條直線
② 一般地，從圖形的角度看，確定兩條直線相交點的座標，相當於求相應的二元一次方程組的解，解一個二元一次方程組相當於確定相應兩條直線交點的座標
7、用二元一次方程組確定一次函數表達式
① 先設出函數表達式，再根據所給條件確定表達式中未知的係數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定係數法。
8、三元一次方程組
① 在一個方程組中，各個式子都含有三個未知數，並且所含有未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫做三元一次方程
② 像這樣，共含有三個未知數的三個一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組
③ 三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解.
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第六章 數據的分析
1、平均數
① 一般地，對於n個數x1x2...xn，我們把（x1+x2+···+xn）叫做這n個數的算數平均數，簡稱平均數記為。
② 在實際問題中，一組數據裏的各個數據的“重要程度”未必相同，因而在計算，這組數據的平均數時，往往給每個數據一個權，叫做加權平均數
2、中位數與眾數
① 中位數：一般地，n個數據按大小順序排列，處於最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數
② 一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數
③ 平均數、中位數和眾數都是描述數據集中趨勢的統計量
④ 計算平均數時，所有數據都參加運算，它能充分地利用數據所提供的信息，因此在現實生活中較為常用，但他容易受極端值影響。
⑤ 中位數的優點是計算簡單，受極端值影響較小，但不能充分利用所有數據的信息
⑥ 各個數據重複次數大致相等時，眾數往往沒有特別意義
3、從統計圖分析數據的集中趨勢
4、數據的離散程度
① 實際生活中，除了關心數據的集中趨勢外，人們還關注數據的離散程度，即它們相對於集中趨勢的偏離情況。一組數據中最大數據與最小數據的差，（稱為極差），就是刻畫數據離散程度的一個統計量
② 數學上，數據的離散程度還可以用方差或標準差刻畫
③ 方差是各個數據與平均數差的平方的平均數
④ 其中是x1 ，x2.....xn平均數，s2是方差，而標準差就是方差的算術平方根
⑤ 一般而言，一組數據的極差、方差或標準差越小，這組數據就越穩定。
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第七章 平行線的證明
1、為什麼要證明
① 實驗、觀察、歸納得到的結論可能正確，也可能不正確，因此，要判斷一個數學結論是否正確，僅僅依靠實驗、觀察、歸納是不夠的，必須進行有根有據的證明
2、定義與命題
① 證明時，為了交流方便，必須對某些名稱和術語形成共同的認識，為此，就要對名稱和術語的含義加以描述，做出明確的規定，也就是給它們的定義
② 判斷一件事情的句子，叫做命題
③ 一般地，每個命題都由條件和結論兩部分組成。條件是已知的選項，結論是已知選項推出的事項。命題通常可以寫成“如果....那麼.....”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那麼”引出的部分是結論
④ 正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題
⑤ 要説明一個命題是假命題，常常可以舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例
⑥ 歐幾里得在編寫《原本》時，挑選了一部分數學名詞和一部分公認的真命題作為證實其他命題的出發點和依據。其中數學名詞稱為原名，公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他命題的真假都需要通過演繹推理的方法進行判斷
⑦ 演繹推理的過程稱為證明，經過證明的真命題稱為定理，每個定理都只能用公理、定義和已經證明為真的命題來證明
a. 本套教科書選用九條基本事實作為證明的出發點和依據，其中八條是：兩點確定一條直線
b. 兩點之間線段最短
c. 同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
d. 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行（簡述為：同位角相等，兩直線平行）
e. 過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
f. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等
g. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
h. 三邊分別相等的兩個三角形全等
⑧ 此外，數與式的運算律和運算法則、等式的有關性質，以及反映大小關係的有關性質都可以作為證明的依據
⑨ 定理：同角（等角）的補角相等
同角（等角）的餘角相等
三角形的任意兩邊之和大於第三邊
對頂角相等
3、平行線的判定
① 定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行，簡述為：內錯角相等，兩直線平行
② 定理：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行，簡述為：同旁內角互補，兩直線平行。
4、平行線的性質
① 定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。簡述為：兩直線平行，同位角相等
② 定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等。簡述為：兩直線平行，內錯角相等
③ 定理：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡述為：兩直線平行，同旁內角互補
④ 定理：平行於同一條直線的兩條直線平行
5、三角形內角和定理
① 三角形內角和定理：三角形的內角和等於180°
② 定理：三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
定理：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
③ 我們通過三角形的內角和定理直接推導出兩個新定理。像這樣，由一個基本事實或定理直接推出的定理，叫做這個基本事實或定理的推論，推論可以當定理使用。
