之前寫過一篇極化恆等式的小專題，鏈接為解析考前訓練7.用極化恆等式解決向量數量積取值範圍問題，本次內容為極化恆等式的一些補充。
極化恆等式解決的是共起點的向量數量積問題，可把數量積運算轉化為最直觀的線段長度問題，避免解題過程中角度的引用和多變量的產生，在每年的高考真題中均可找到可用極化恆等式解題的題目，特別是在一些與數量積最值有關的題目中，可避免設點建系，將最值轉化為與線段有關的最值問題，極化恆等式有平行四邊形模式和三角形模式，兩者並無區別，對我個人而言，更傾向於在三角形中去解決此類問題。
在四邊形中，同起點的向量乘積與以此為臨邊的平行四邊形對角線的長度有關，在三角形中，同起點的向量乘積與對邊的長度和對邊上中線的的長度有關，在一切最值題目中經常會遇到對邊或中線兩者一個已知一個未知的情況，找到符合最值要求時某條線段長度即可，下面給出8道典型的極化恆等式的例題：
最好的題目放在最前面，題目中有三個夾角未知，已知向量a,b數量積，向量a,b的乘積用極化恆等式的形式寫出後發現與向量a,b之和的模長與向量a,b兩終點之間的距離有關，即|a+b|只與上圖中AB的距離有關，找出|AB|的最小值即可。
根據a,e與b,e的數量積和射影，能確定出向量a,b的終點A,B分別在兩條距離為1的直線上運動，|AB|的最小值即為平行線之間的距離，題目即可解出。
在三角形PAD中，P的對邊AD長度確定，只需中線PE最短即可，|PE|最短時兩點重合，長度為零。
題目的關鍵在於理解條件中的恆成立條件，用極化恆等式展開後可得到|PM|≥|P0M|恆成立，加之P0為定點，P為動點，則MP0⊥AB，即可確定出三角形的形狀，在向量題目中這種恆成立的條件經常遇到。
這個題目之前給出過，當時是以一種較為複雜的做法給出的，題目中依舊有恆成立的條件，條件的表達意義為線段AB上有一動點，這個動點到定點P的距離最小值為3，可知垂直時滿足最值條件。
條件中有兩組共起點的向量數量積，用極化恆等式轉化為兩組與|BC|和|AD|長度有關的等式，解方程組即可得到BC和AD的長度，再用一次極化恆等式即可求出。
題目與其説考查向量，不如説考查解三角形，中線和角平分線是解三角形中常見的兩種線段類型，兩種線型均可用面積求解，根據極化恆等式，只需求出DE的長度即可。
取BC的中點D，用極化恆等式展開，所求式子的最小值與PD和BC的長度有關，條件中給出了三角形的面積，其中P點是EF上的動點，PD的最小值即為EF與BC之間的距離，而這個距離和三角形整體的高存在關係，利用均值不等式即可轉化為與三角形面積有關的定值。
這個題目的解法很多，但用極化恆等式最為簡單，根據極化恆等式可得到OM長度的一個不等式，利用雙曲線方程進行化簡即可。
最後，極化恆等式是一個相對簡單且實用的知識點，且在高考真題中經常出現，向量專題中有一些噱頭大於實際的知識點，例如奔馳定理和矩形定理等等，相對來説，極化恆等式的用處更為廣泛，它不是一種二級結論，而是一種解題的思路，這兩期極化恆等式的專題中沒有重複出現的題目，掌握住這些題目基本上對該知識點有了大致的認識，另外，之前的模擬題真題的選題解析中經常出現極化恆等式的題目，可通過搜索框搜索對應的內容。