分享一道有關圓的綜合題，此題看起來比較難，關鍵是弄清角的關係

各位朋友，大家好！今天，“數學視窗”給大家講解一道有關數形結合的幾何綜合題，這道題目中的條件比較多，需要解決兩個小題，有一定的難度。大家在做題時必須完全弄清所給出的條件之間的聯繫。此題考查了圓的綜合運用、直角三角形的性質以及三角形內角和公式等知識。下面，我們就一起來看這道例題吧！

例題：（初中數學綜合題）如圖，已知鋭角三角形ABC內接於圓O，OD⊥BC於點D，連接OA．

（1）若點A可在優弧BC上運動，且∠BAC=60°，OA=1，求△ABC面積的最大值．

（2）若點E在線段OA上，OE=OD，連接DE，設∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正數），若∠ABC＜∠ACB，求證：m+2=n．

分析：大家想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面就簡單分析一下此題的思路：

（1）連接OB、OC，則∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，即可求OD=1/2OB=1/2OA；由於BC長度為定值，所以當BC邊上的高最大，△ABC面積就最大，據此即可求解；

（2）設∠OED=a，由圖可知∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-ma-na=1/2∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-ma-na+2ma=180°+ma-na，據此即可求解．

解答：（以下的過程僅供參考，可以部分進行調整，並且可能還有其他不同的解題方法）

（1）解：如圖，連接OB、OC，

∵OD⊥BC於點D，

∴∠BOD=1/2∠BOC=∠BAC=60°，

∴∠OBC=30°，

∴OD=1/2OB=1/2OA=1/2，

在直角三角形BOD中，

BO=OA=1，OD=1/2，

∴BD=√3/2，

∵BC長度為定值，

∴當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，

即AD經過點O時，AD最大，

故：AD=AO+OD=3/2，

∴△ABC面積的最大值為：

1/2×BC×AD

=1/2×2BD×3/2

=1/2×√3×3/2

=3√3/4；

（2）證明：設∠OED=a，則∠ABC=ma，∠ACB=na，

根據三角形內角和定理，得

∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB

=180°-ma-na

=1/2∠BOC=∠DOC，

∵∠AOC=2∠ABC=2ma，（圓周角定理）

∴∠AOD=∠COD+∠AOC

=180°-ma-na+2ma

=180°+ma-na，

∵OE=OD，∴∠OED=∠ODE=a，

∴∠AOD=180°-2a，

即：180°+ma-na=180°-2a，

化簡，得：m+2=n．

（完畢）

這道題考查了圓的內容、直角三角形的性質以及三角形內角和公式等知識，解答本題的關鍵是靈活運用三角形內角的關係，再根據數形結合求解。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家給“數學視窗”留言或者參與討論。