CAE基礎 | 從數學原理到有限元思想的萌芽

今天，我們聊聊有限單元法的思想來源，主要從力學知識的梳理到微分方程的求解，從1D杆系問題到3D複雜結構的處理，那麼在這個過程中是如何產生有限元思想的呢？

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質點、剛體和變形體

我們從所學習的力學知識談起，首先從質點、剛體、變形體的概念來切入，引出五類力學的知識區域。

所謂質點，源於我們的中學力學，對象指的是無變形、無形狀的一個質心，常由牛頓三大定律方程描述。

所謂剛體，源於我們的理論力學，考慮了研究對象的形狀，關鍵涉及到了由於對象自身轉動引起研究問題變化的情況。

變形體來源於多門力學知識，比如材料力學，研究的是簡單形狀的小變形問題，如梁、杆，涉及的是線性和低階微分方程的求解；結構力學研究是擁有眾多數量且形狀簡單的小變形問題，如剛架、桁架，涉及的多是大規模的線性方程組；彈性力學就偏向於複雜形狀的小變形問題，如殼、不規則幾何體，基本單元取得是dxdydz微體；彈塑性力學就偏向於屈服、非線性等較大變形的問題。

這幾大力學的基本變量及方程涉及三方面，即由變形方面描述的幾何方程、力的平衡方面描述的力的平衡方程、材料特性方面描述的的物理本構方程。

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變形體力學的要點

瞭解清楚質點、剛體、變形體後，接下來我們主要過渡到變形體力學方面的知識，這將是有限元發源的基礎。

材料力學為了描述材料的力學行為，首先從同一材料的拉伸實驗開始，把數據處理後引出了彈性模量的概念，形成了三大類變量——應力、應變與位移，消除了材料試樣幾何因素的影響，對材料本構進行了解釋與構建。

接下來就轉移到了對三大類方程的建立與求解中。幾何方程描述的是位移與應變的函數關係；平衡方程描述的是力與應力的關係；物理方程描述的是應力與應變的關係，即材料本構屬性。

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微分方程的求解方法

對於實際問題，方程多為微分方程，關於方程的求解方法有兩大類：一類是解析方法，即通過函數關係的推導得出精確解；另一類是近似方法，如差分法與試函數法。

近似方法，步驟規範，容易編為計算機程序，以犧牲精度的方式，獲取滿足工程精度的結果，在實際工程中應用較多。

接下來我們以下面的一個實例進行方法介紹：

差分法，就是把這個對象分成若干段，把微分用有限差分代替，把導數用有限差商代替，從而把基本方程和邊界條件近似地改用差分方程來表示，最終把求解微分方程的問題改換成為求解代數方程組的問題。

試函數法，它的思想就是假定有一個解，又稱試函數，這個解中包含了待定係數，我們首先尋找滿足邊界條件的試函數，再把設定好的試函數帶入控制方程，帶進去之後基本不滿足，我們再處理得到殘差函數，通過使與原方程的誤差殘值最小，來確定試函數中的待定係數，得到最終的試函數，就得到了微分方程的解。

我們對三種方法進行比較，解析法技巧要求高，適用於簡單問題，對於2D、3D問題很難得到解析解；差分法和試函數法求解過程規範，僅求解代數方程，容易用編程實現，適合工程中複雜問題的求解。

相對來説，試函數更為簡單，計算量比較小，關鍵在於如何構造滿足邊界條件的試函數。也就引出了下面我們要説的問題：關於函數逼近的方式！

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試函數與函數逼近

這裏，關於試函數的問題，關鍵是要討論函數的逼近問題。我們以一維函數為例，分析它的展開與逼近形式。

第一種是基於全域的展開形式：採用傅里葉級數展開，c為待定係數，φ為基底函數。我們可以用多個基底函數進行線性組合，去描述逼近目標函數。注意這兒的基底函數是定義在全域上的。

第二種是基於子域的展開方式：採用分段線性函數拼接出來整個目標函數，即不同的子域有不同的線性函數及係數，我們把每一段的線性函數組合起來得出結果。

對於兩者的比較，前者基底函數高次連續，且僅採用幾個函數就能得到較高的逼近效果，但是基底函數複雜，在2D、3D問題上去構造全域的基底函數是非常困難的；後者雖然在拼接處不連續，但是基底函數簡單，形狀逼近的確實還不錯，且還能通過二次函數、三次函數進行逼近，提高精度，它的關鍵是如何針對複雜的2D、3D問題，構造出分片或者分塊的試函數。

現在我們的方向是針對複雜幾何域的函數表徵及逼近。

針對於規則的2D、3D形狀，我們可以直接構造出全域的試函數，對於非規則形狀，幾乎就不可以了，只能通過分片和分塊的方法構造試函數，去拼接成相近的形狀。

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有限元的核心原理

現在就很接近真相了，有限元的核心就是針對複雜幾何域，採取分段、分片或者分塊的方式，也就是子域的方式來構造相應的簡單函數，然後再拼出一個全域的試函數。這種方式容易做得到。

我們從一個幾何開始，進行幾何離散，形狀基本構件。我們把裏面分出來的這些基本構件，像這些規範化的子域我們稱之為單元，我們做好一系列的單元，就可以用它拼出我們需要的形狀，處理複雜的幾何問題。

在有限元軟件中，我們將常用的1D、2D、3D單元構成單元庫，需要什麼調用什麼。

在建築結構中，這種思想就是單元+組裝的方式，建築用的構件就是杆單元、梁單元還有板單元，我們根據實際情況，就可以組裝成滿足我們實際複雜幾何形狀要求的試函數。

這就是我們有限元非常重要的一個基礎，由基本構件來構建複雜的對象。

關於有限元的思想，其實在一百多年前就有了，一個是從工程方面，主要是工程師根據工程實際得到啓發，用直覺的方式構造試函數；另一種是數學家主要從求解微分方程及試函數如何控制誤差這個角度發展有限元。隨着各位科學的研究和工業的應用，有限元軟件也逐漸發展了起來，成為了工程仿真計算必不可少的工具。

總之呢，時代技術的積累必然會造就美好的世界。