各位朋友,大家好!數學世界繼續為大家分享初中數學題,希望筆者的分析與講解能夠為廣大初中生學好數學提供一些幫助!今天,數學世界分享一道有關圓和全等三角形的綜合題,涉及切線的判定和性質等知識。
一直以來,數學世界都是精心選擇一些數學題分享給大家,目的是希望由此激發學生們對數學這門課程的興趣,並能給廣大學生的學習提供一點幫助!接下來,數學世界就與大家一起來看題目吧!
例題:(初中數學綜合題)如圖,已知AB為⊙O的一條弦,PB切⊙O於B,PA=PB,直線PO交AB於E,交⊙O於點C.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若CD∥PA,CD交直線AB於點D,交⊙O於另一點F.求證:AD=CD.
知識回顧
平行線的性質: 1.兩直線平行,同位角相等。 2.兩直線平行,內錯角相等。 3.兩直線平行,同旁內角互補。
垂直平分線的判定:到一條線段兩個端點的距離相等的點,在線段的垂直平分線上。
分析:(1)要證明切線肯定會想到連接OA,OB.由於PB切⊙O於B,只要證明△PAO≌△PBO,就可推出∠PAO=∠PBO=90°,即可解決問題.
(2)連接AC,要證明AD=CD,只要想辦法證明∠DAC=∠DCA即可.而∠DAC=∠EAO+∠OAC,∠DCA=∠DCE+∠OCE,我們利用已知條件就可以分別得出兩個小角相等,即可解決問題。
請大家注意,想要正確解答一道數學題,必須先將大體思路弄清楚。下面,我們就按照以上思路來解答此題吧!
解答:(以下過程可以部分調整)
(1)證明:連接OA,OB.
∵PB是⊙O的切線,
∴PB⊥OB,
∴∠PBO=90°,
在△PAO和△PBO中,
∵PA=PB,PO=PO,OA=OB,
∴△PAO≌△PBO(SSS),
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴PA⊥OA,
∴PA是⊙O的切線.
(2)證明:連接AC.
∵PA=PB,OA=OB,
(線段垂直平分線的判定)
∴OP⊥AB,
∴∠AEC=90°,
∵∠PAO=90°,
∴∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠APO=90°,
∴∠EAO=∠APO,
∵AP∥CD,
∴∠APO=∠DCE,
∴∠EAO=∠DCE,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
(運用等式性質)
∴∠EAO+∠OAC=∠DCE+∠OCE,
即∠DAC=∠DCA,
∴DA=DC.
(完畢)
這道題屬於綜合題,考查了切線的判定和性質,全等三角形的判定和性質,平行線的性質,等腰三角形的判定和性質等知識,解題的關鍵是將一個大角分成兩個角之和的形式解決問題。温馨提示:朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,歡迎大家留言討論。