這一系列絕妙而不可思議的證明，保證你看完之後會拍手驚歎“妙哇！妙哇！”
鐺鐺鐺！一號選手帶着他的證明已就緒！
一號選手應太過優秀，直接免賽保送清華！
嚴肅點，以下才是正文！
01
存在無理數的無理數次冪是有理數
竟然兩句話就證明了，此題的精妙之處就在於完全都不需要去知道根號2的根號2次冪究竟是有理數還是無理數。
02
網格覆蓋問題
如下左圖8×8的正方形網格盤，將左上角和右下角的兩個小正方形挖掉，問：能否用右圖所示的1×2的長方形塊不重疊地恰好覆蓋此正方形網格盤。
答案是不能的，即使窮盡所有可能性，都不可能完成，但關鍵是怎樣去證明這個不可能性。
證明：此處需要聯想到國際象棋的棋盤，同樣地除去其左上角和右下角的方格。
如此我們可以看到，不論長方形塊是橫着放還是豎着放，每個長方形塊都會覆蓋到一個白格子和一個黑格子，這意味着棋盤上的白格子和黑格子的數量應是相等的，然額事實是我們已經挖去了兩個白格子，這就導致白格子的數量少於黑格子的數量，所以覆蓋是不可能的。
03
六邊形覆蓋問題
下圖是由許多個小三角形構成的正六邊形棋盤，然後用右邊的三個方向的菱形去覆蓋棋盤，證明當恰好完全覆蓋時，所使用的菱形數量相等。
類似於上面的網格覆蓋問題，這裏也需要用到一個技巧，就是“塗色”的技巧，不同的是不是對網格塗色，而是對三種不同方向的菱形塗不同的顏色。下圖是某一種覆蓋方式
神奇的現象發生了，上面的正六邊形棋盤變得立體起來了，好像是由一個個小立方體堆起來的。我們看到的每種顏色塊的數量其實就是從對應的視角看到的正方形塊的數量。
04
拉塞姆問題
任意六個人中，一定存在三個人，他們互相都認識，或者都不認識。
上面這個命題不太像數學命題，但是我們換個方式去表達：我們將六個人視為六個點，任意兩個人之間如果他們相互認識就用紅邊連接，如果不認識就用藍邊連接，如果存在三個人相互認識就構成了一個紅色邊的三角形，如果存在三個人互相不認識就構成了一個藍色邊的三角形。那麼問題就轉變為：一定存在一個同色三角形。
證明：（反證法）假設不存在同色三角形，我們先從一個點P1出發，那麼由這個點P2出發的邊一定有三條邊同色，不妨假設為紅色，這三條邊所連的點為P2、P3、P4.
根據前提假設，那麼P2P3、P3P4、P2P4之間都不可能為紅邊，然而這樣P2P3P4就構成了一個藍色邊的三角形，從而得出矛盾。
05
三個不同半徑、相離且圓心不共線的圓，兩兩外公切線的交點共線。
這裏的證明也是化平面為立體，假設這三個圓是三個球的赤道截面，那麼我們有一個包含三個南極點的平面P1（可以想象一下把這三個球放在桌面上），和另一個與三個球都相切的平面P2（假設我們拿一張硬紙板覆蓋它們）。
P1和P2相交於直線l，顯然l包含了三個圓的外公切線交點。P1和P2的評分面P3穿過三個球心或者説圓心，且包含直線l。而P3就是這張2D圖的所在平面，所以圖中三個交點共線。
還有以下這些如同勾股定理證明的“無字證明”
06
託密勒定理
圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
如圖，證明a×c+b×d=e×f。
證明如下圖：
07
1+q+q^2+q^3+……=1/(1-q),(0
證明可從下圖並利用三角形全等的關係得到
08
1/(1×2）+1/（2×3）+……1/(n×(n+1))=n/(n+1)
證明同樣可從下圖並利用三角形全等的關係得到
