魏元帝景元四年（263），魏國滅亡了蜀國，朝着統一國家的目標邁出了重大一步。這一年，對於魏國的學者劉徽（生平不詳）來説，也是一個非同尋常的年份。經過多年的辛勞，他完成了對數學名著《九章算術》的註釋。註釋中不但有他對原著的理解，還有他的創見。
“功夫不負有心人。多年的嘔心瀝血，終於完成了！”望着堆放在案几上的整齊的書卷，劉徽感到欣慰。多少個焦思的白日，多少個不眠的夜晚，多少張演算的草圖，多少次執矩立杆的實際測量，終於鋪就了一條通向成功的道路！劉徽當然應該高興。
劉徽畫像
《九章算術》大約成書於東漢初期，是中國古代流傳下來的早期數學名著。《九章算術》分為九章：方田、商功、少廣、粟米、衰分、均輸、盈不足、方程和勾股。勾股章講述勾股定理與相似直角三角形解法與應用。《九章算術》是中國古代數學經典的突出代表。南宋的數學家榮棋説：“九章為算經之首，蓋猶儒者之六經，醫家之難素，兵法之孫子歟。”榮棋還説，後世學者只要精通《九章算術》的一個方面，並加以闡發，就可能自成一家。
但是，《九章算術》同我國古代數學經典一樣，有一個突出的特點，即以問題集的形式編寫，寓一般數學原理於具體算例之中，行文簡括，缺乏必要的説明與解釋，缺乏系統的理論探討。《九章算術》所列出的246個算例，因闡述過於簡略，造成了在學習與應用中許多誤解與困惑。在研讀《九章算術》的過程中，劉徽發現了這個問題，立志註釋這部數學經典。
劉徽註釋《九章算術》一頁
魏元帝時期，雖然軍閥混戰，但是中原地區相對安定，劉徽便躲進書齋，按照“析理以辭，解體用圖”的原則對《九章算術》進行研究。他在註釋的自序中所説：“事類相推，各有攸歸。故枝條雖分，而同本幹者，知發其一端而已。”就是説，劉徽試圖探求的是具體算例包含的內在邏輯和共同的道理。特別需要指出，劉徽在對勾股章註釋過程中，系統地研究了勾股測量理論與方法（中國古代概稱勾股術），另著《重差》一卷，附於《九章算術》之後。重差測量理論與方法為實現直接測量向間接測量的轉變提供了依據。
勾股術是基於直角三角形性質的測算方法，也是中國古代一脈相承的基本測量方法。
劉徽創造重差測量體系，源於數學家趙爽的日高圖的啓發。趙爽是三國時期的吳國人，以註釋數學名著《周髀算經》而聞名。據考證，《周髀算經》記述了西漢及其以前的數學成果，其中以西周數學家商高關於勾股定理的論述以及“用矩之道”最為著名。説明先秦時期，直接測量的勾股術已經廣泛應用了。趙爽對勾股定理註釋：“勾股各自乘，並之為弦實（面積），開方除之即弦。”並根據勾股術演繹出著名的《日高圖》。《日高圖》實際上是測量太陽高度的圖解。《日高圖》的構圖大體如下：在中午時分，在南北方向上樹立兩根同高為ｃ的表杆(AC、EG)，兩表相距為ｄ，南面的表杆影長(CB)為ａ，北面表杆的影長(GF)為ｂ。b-a為兩表影長的差值，ｄ可視為兩表到太陽在地面的垂直投影點的距離的差值。那麼，太陽的高度等於ｃ與ｄ的乘積除以b-a的差，再加上ｃ((cd/b-a) c)。其中，ｄ/(b-a)這個比值是兩個差值之比，所以稱為重差。這種方法被稱為重差法，其實質在於構建相似直角三角形，而重差是相似直角三角形推算中的比例項。
日高圖示意
劉徽反覆端詳着數學家趙爽的《日高圖》，心裏琢磨着《日高圖》隱含着的道理。“用兩根表杆就能測量推算出太陽的高度，這太神奇了！趙君真是巧思絕世的才子！”劉徽佩服趙爽使用如此簡單的工具和如此簡便的測算方法就解決了可望而不可及的物體的測算問題。《日高圖》使劉徽豁然開朗，他欣然命筆：“凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差。勾股必以重差為率，故曰重差也。”重差法是中國古代勾股術的主要內容。而勾股術本質上是中國古代基於直角三角形的三角測量。
劉徽按照趙爽的思路探索下去，發明了重表法、累矩法和連索法，逐步建立起重差測算體系，使得中國古代的勾股術臻於完善。重表法與日高圖的方法類似，使用兩根表杆前後觀測，去間接測量高大物體的高度，如海岸近處的島嶼等。劉徽《重差》的第一個 算例“望海島”就採用的是重表法。
“望海島”算例圖解
“望谷”算例採用了累矩法（見示意圖）。累矩法是利用兩個上下疊累的偃矩（在矩ABC上疊加和B′A′C′）測量推算出物體的深度(AE)，如水井、山谷的深度。“望邑”算例採用了連索法（見示意圖），即在觀測中不但使用重表（E、F與人眼同高），而且用測繩將兩根表杆連起來，藉助繩索進行測量與推算。對這些方法，劉徽詳細繪製了圖解，稱為《重差圖》（已佚）。他説：“度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望，觸類而長之，則幽遐詭伏靡所不入。”意思是説，測量高低用重表法，測量深淺用累矩法，測量孤立的目標用多次望測的方法，測量複雜的目標需要聯合使用這些方法。總之，要根據實際情況，活用原則。
累矩法示意圖
連鎖法示意圖
到了唐代，太史令、算學博士李淳風等把劉徽的《重差》更名為《海島算經》，與《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》 、《夏侯陽算經》、《張邱建算經》 、《五曹算經》等，編入古代算學經典《算經十書》。
《海島算經》一頁
從《周髀算經》勾股定理到《九章算術》勾股章，再到《海島算經》從重差術，勾畫出中國古代勾股測算體系逐步形成與完善的軌跡。唐代以後，歷代都把《海島算經》在內的《算經十書》作為官學的教科書。明代學者徐光啓著《勾股義》，簡明闡述中國古代測量理論與方法——勾股術，表明了勾股測算理論與方法的生命力。即使在西方測量理論和方法在中國逐漸傳播開來的清代，勾股術仍未退出歷史舞台。因為，以勾股定理和重差理論為基石的測算理論和方法解決了中國古代基本的測量問題。毫無疑問，在構建中國古代勾股測量體系上，三國時期的數學家劉徽居功至偉。
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