這道與圓有關的綜合題，關鍵是運用等腰三角形的性質與垂徑定理
各位朋友，大家好！此前一段時間，數學世界為大家分享的都是小學數學題，現在，數學世界將持續為大家解析初中數學題，希望對廣大初中生學好數學提供一些幫助！今天，數學世界分享一道與圓有關的幾何綜合題，由於很多學生看到幾何題就害怕，經常就是看着題目發呆，想要學好數學，必須改變這種狀態。
一直以來，數學世界都是精選一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們學習數學的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看看吧！
例題：（初中數學幾何綜合題）如圖，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC於點D．
（1）求證：∠BAC=2∠ABD；
（2）當△BCD是等腰三角形時，求∠BCD的大小.
垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。
推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直與這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。
推論二:弦的垂直平分線經過圓心，並且平分這條弦所對的弧。
推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,並且平分這條弦所對的另一條弧。
分析：（1）要證∠BAC=2∠ABD即證1/2∠BAC=∠ABD，由圖可知，連接OA，只要推出AO平分∠BAC即可．可以利用垂徑定理以及等腰三角形的性質來解決問題．
（2）出現等腰三角形時，往往需要分情況討論：若BD=CB，則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD．若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．分別利用三角形內角和定理構建方程求解即可．
我們想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！
∵AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，
∴弧AB=弧AC，
∴OA⊥BC，（平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦）
∴AO平分∠BAC，（等腰三角形三線合一）
即∠BAO=∠CAO，
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
（2）解：當△BCD是等腰三角形時，
若BD=CB，則∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=2∠ABD，
∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠BCD=3∠ABD=67.5°．
若CD=CB，則∠CBD=∠CDB=3∠ABD，
∴∠BCD=∠ABD+∠CBD=4∠ABD，
∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
若DB=DC，則D與A重合，這種情形不存在．
綜上所述，∠BCD為67.5°或72°．
（完畢）