各位關注數學世界的老朋友和新朋友,大家好!數學世界今天將繼續為大家分享初中數學中比較有代表性的解答題,筆者希望通過對習題的分析與講解,能夠為廣大初中生學習數學提供一些幫助!
一直以來,數學世界都是精心挑選一些數學題分享給大家,希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣,並能給廣大學生的學習提供一點幫助!
今天,數學世界分享一道綜合解答題,涉及了相似三角形的判定和性質,圓的有關性質,切線的判定和性質,鋭角三角函數等知識。下面,數學世界就與大家一起來看題目吧!
例題:(初中數學綜合題)如圖,已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點,D是AB上的一點,DE⊥AB於D,DE交BC於F,且EF=EC.
(1)求證:EC是⊙O的切線;
(2)若BD=4,BC=8,圓的半徑是5,求切線EC的長.
知識回顧
切線的定義:平面幾何中,與圓只有一個公共交點的直線叫做圓的切線.
切線的判定:經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線.
切線的證明方法:(一)作半徑證垂直,(二)作垂直證半徑.
分析與解答:(請大家注意,想要正確解答一道數學題,必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整,並且可能還有其他不同的解題方法)
解:(1)連接OC,(證明切線一般都需要連半徑)
∵OC=OB,(圓的半徑相等可以直接用)
∴∠OBC=∠OCB,(等邊對等角)
∵DE⊥AB,(已知條件)
∴∠OBC+∠DFB=90°,(直角三角形的性質)
∵EF=EC,(已知條件)
∴∠ECF=∠EFC=∠DFB,(等邊對等角,對頂角)
∴∠OCB+∠ECF=90°,(等量代換)
即∠ECO=90°,
∴OC⊥CE,(垂直定義)
∴EC是⊙O的切線.(切線的判定)
(2)∵AB是⊙O的直徑,(已知條件)
∴∠ACB=90°,(直徑所對的圓周角是90°)
∵OB=5,(圓的半徑是5)
∴AB=10,(已知半徑求出直徑)
∵在直角三角形ABC中,AB=10,BC=8,
∴AC=6,(用勾股定理計算)
∵cos∠ABC=BD/BF=BC/AB,(鋭角三角函數定義)
∴8/10=4/BF,(代入數據進行計算)
∴BF=5,
∴CF=BC-BF=3,(觀察圖形即可得出)
∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ABC+∠BFD=90°,(直角三角形的性質)
∴∠BFD=∠BAC,
∴∠BAC=∠BFD=∠ECF=∠EFC,(等量代換)
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=∠BFD=∠ECF=∠EFC,
∴△OAC∽△ECF,(相似三角形的判定)
∴EC/OA=CF/AC,(由相似得出線段比例式)
∴EC/5=3/6,(代入數據進行計算)
∴EC=5/2.
(完畢)
這道題屬於圓的綜合題,考查了圓的有關性質,相似三角形的判定和性質,切線的判定和性質,鋭角三角函數等知識,通過證明△OAC∽△ECF,再由相似得出線段比例式是解答本題的關鍵。温馨提示:朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法,歡迎大家留言討論。