中考數學線段數量關係探索
幾何中的基本圖形就是線段。與線段有關的問題主要是考查數量關係與位置關係。
線段的數量關係的問題比較多，有2條、3條或者4條之間的關係。
簡單的就是相等、倍數，乘積或者勾股、截長補短等等各種關係。方法考查相似、全等、勾股等居多。
其中以下地區都有涉及：
2019•泰安、2019•懷化、2019•大慶
2019•柳州、2019•蘭州、2019•廣元
2019•蘇州、2019•天門、2019•岳陽
2019•泰州、2019•聊城、2019•廣東
2019•荊門、2019•孝感、2019•常德
2019•黃石、2019•河池、2019•畢節
2019•宜昌、2019•宜昌、2019•深圳
2019•廣西、2019•黃石、2019•杭州
2019•成都、2019•湘西、2019•哈爾濱
【中考真題】
一、3、4條線段的比例或乘積關係
1．（2019•泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD於點E，點P是邊AD上一點．
（1）若BP平分∠ABD，交AE於點G，PF⊥BD於點F，如圖，證明四邊形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如圖，求證：AE•AB＝DE•AP；
【分析】
題（1）比較基礎，主要是證明菱形的四條吧相等來證明菱形；
題（2）設計4條線段的乘積關係，首先想到的就是轉化為比例式，再找三角形相似。
如果AE與DE組成三角形，那麼AB與AP也組成三角形。
AE•AB＝DE•AP
發現兩個三角形並不相似。
如果AE與AP組成三角形，則AB、DE無法組成三角形。
AE•AB＝DE•AP
因此題目暗示需要進行轉化才可以。
由題目中AE⊥DE，PE⊥CE，可以得到∠AEP=∠DEC。
觀察易得△AEP∽△DEC。
所以把AB用CD來代換即可。
【答案】（1）證明：如圖中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE ∠EAD＝90°，∠EAD ∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG ∠ABG，∠APD＝∠ADE ∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四邊形AGFP是平行四邊形，
∵PA＝PF，
∴四邊形AGFP是菱形．
（2）證明：如圖中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD ∠ADE＝90°，∠ADE ∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴AE/DE=AP/DC，
∵AB＝CD，
∴AE•AB＝DE•AP；
【總結】
絕大多數的乘積比例問題都是轉化為相似來求解。常常需要等量代換進行轉化。
2．（2019•廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PC，切點是C，過點C作弦CD⊥AB於E，連接CO，CB．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若AB＝10，tanB=1/2，求PA的長；
（3）試探究線段AB，OE，OP之間的數量關係，並説明理由．
【答案】（3）AB²＝4OE•OP
如圖2，∵PC切⊙O於C，
∴∠OCP＝∠OEC＝90°，
∴△OCE∽△OPC
∴OE/OC=OC/OP，即OC2＝OE•OP
∵OC=1/2AB
∴(1/2 AB)²=OE⋅OP
即AB²＝4OE•OP．
3．（2019•泰州）如圖，⊙O的半徑為5，點P在⊙O上，點A在⊙O內，且AP＝3，過點A作AP的垂線交⊙O於點B、C．設PB＝x，PC＝y，則y與x的函數表達式為 ．
【答案】解：連接PO並延長交⊙O於D，連接BD，
則∠C＝∠D，∠PBD＝90°，
∵PA⊥BC，
∴∠PAC＝90°，
∴∠PAC＝∠PBD，
∴△PAC∽△PBD，
∴PB/PA=PD/PC，
∵⊙O的半徑為5，AP＝3，PB＝x，PC＝y，
∴x/3=10/y，
∴xy＝30，
∴y=30/x，
故答案為：y=30/x．
4．（2019•哈爾濱）如圖，在▱ABCD中，點E在對角線BD上，EM∥AD，交AB於點M，EN∥AB，交AD於點N，則下列式子一定正確的是（）
A．AM/BM=NE/DE
B．AM/AB=AN/AD
C．BC/ME=BE/BD
D．BD/BE=BC/EM
【答案】解：
∵在▱ABCD中，EM∥AD
∴易證四邊形AMEN為平行四邊形
∴易證△BEM∽△BAD∽△END
∴AM/BM=NE/BM=DE/BE，A項錯誤
AM/AB=ND/AD，B項錯誤
BC/ME=AD/ME=BD/BE，C項錯誤
BD/BE=AD/ME=BC/ME，D項正確
故選：D．
三、證明線段相等
5．（2019•聊城）如圖，△ABC內接於⊙O，AB為直徑，作OD⊥AB交AC於點D，延長BC，OD交於點F，過點C作⊙O的切線CE，交OF於點E．
（1）求證：EC＝ED；
∴OC⊥CE，
∴∠OCA ∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE ∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA ∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE ∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
備註：證明等腰
6．（2019•廣東）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O於點D，連接AD交BC於點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF．
（1）求證：ED＝EC；
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
7．（2019•河池）如圖，五邊形ABCDE內接於⊙O，CF與⊙O相切於點C，交AB延長線於點F．
（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求證：DE＝BC；
【答案】（1）證明：∵AE＝DC，
∴(AE) ̂=(DC) ̂，
∴∠ADE＝∠DBC，
在△ADE和△DBC中，{■(∠ADE=∠DBC&@∠E=∠BCD&@AE=DC&)┤，
∴△ADE≌△DBC（AAS），
∴DE＝BC；
備註：全等
三、線段倍數關係
8．（2019•畢節市）如圖，點P在⊙O外，PC是⊙O的切線，C為切點，直線PO與⊙O相交於點A、B．
（1）若∠A＝30°，求證：PA＝3PB；
【答案】解：（1）∵AB是直徑
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AB＝2BC
∵PC是⊙O切線
∴∠BCP＝∠A＝30°，
∴∠P＝30°，
∴PB＝BC，BC=1/2AB，
∴PA＝3PB
9．（2019•黃石）如圖，矩形ABCD中，AC與BD相交於點E，AD：AB=√3：1，將△ABD沿BD摺疊，點A的對應點為F，連接AF交BC於點G，且BG＝2，在AD邊上有一點H，使得BH EH的值最小，此時BH/CF=（）
A．√3/2B．(2√3)/3C．√6/2D．3/2
【答案】解：如圖，設BD與AF交於點M．設AB＝a，AD=√3a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，tan∠ABD=AD/AB=√3/1，
∴BD＝AC=√(AB^2 AD^2 )=2a，∠ABD＝60°，
∴△ABE、△CDE都是等邊三角形，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．
∵將△ABD沿BD摺疊，點A的對應點為F，
∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA=√3a．
在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，
∴GM=1/2BG＝1，BM=√3GM=√3，
∴DM＝BD﹣BM＝2a-√3．
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴AD/BG=DM/BM，即(√3 a)/2=(2a-√3)/√3，
∴a＝2√3，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2√3，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4√3．
易證∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，
∴△ADF是等邊三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF＝CD＝2√3．
作B點關於AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交於點H，則此時BH EH＝B′E，值最小．
如圖，建立平面直角座標系，則A（3，0），B（3，2√3），B′（3，﹣2√3），E（0，√3），
易求直線B′E的解析式為y=-√3x √3，
∴H（1，0），
∴BH=√((3-1)^2 (2√3-0)^2 )=4，
∴BH/CF=4/(2√3)=(2√3)/3．
故選：B．
（1）若∠BAC＝60°，
求證：OD=1/2OA．
【答案】解：（1）連接OB、OC，
則∠BOD=1/2∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴OD=1/2OB=1/2OA；
備註：特殊的三角形30°，考慮倍半。
四、垂徑定理
11．（2019•成都）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD，BC相交於點E．
（1）求證：弧AC=弧CD；
【答案】證明：（1）∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB
∵OC∥BD
∴∠OCB＝∠CBD
∴∠OBC＝∠CBD
∴弧AC=弧CD
五、線段和差關係
12．（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分別是邊AB，AD上的點，過點F作EF的垂線交DC於點H，以EF為直徑作半圓O．
（1）填空：點A在（填“在”或“不在”）⊙O上；當(AE) ̂=(AF) ̂時，tan∠AEF的值是；
（2）如圖1，在△EFH中，當FE＝FH時，求證：AD＝AE DH；
【答案 】（2）∵EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF ∠AFE＝90°，
∠AFE ∠DFH＝90°，
∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），
∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF DF＝AE DH；
13．（2019•宜昌）已知：在矩形ABCD中，E，F分別是邊AB，AD上的點，過點F作EF的垂線交DC於點H，以EF為直徑作半圓O．
（1）填空：點A在（填“在”或“不在”）⊙O上；當(AE) ̂=(AF) ̂時，tan∠AEF的值是；
（2）如圖1，在△EFH中，當FE＝FH時，求證：AD＝AE DH；
（3）如圖2，當△EFH的頂點F是邊AD的中點時，求證：EH＝AE DH；
【答案】（3）延長EF交HD的延長線於點G，
∵F分別是邊AD上的中點，
∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FH，
∴EH＝GH，
∴GH＝DH DG＝DH AE，
∴EH＝AE DH；
14．（2019•常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB於點M，BN⊥AC交AC於點N．
（1）在圖1中，求證：△BMC≌△CNB；
（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作PE∥AB交CM於點E，作PF∥AC交BN於點F，求證：PE PF＝BM；
∴BM＝NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴PE/BM=CP/CB，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴PF/NC=BP/BC，
∴PE/BM PF/BM=CP/CB BP/CB=1，
∴PE PF＝BM；