偉大的數學家歐拉和他的奇妙發現——關於倒數級數的和

1735年，著名數學家萊昂哈德·歐拉發表了論文“關於倒數級數的和”，如下圖1所示。在本文中，數學大師找到了求和的一般公式：

式1：整數的偶數次冪的倒數的和。

歐拉的方法吸引了無數的數學家。歐拉早在1734年就證明了巴塞爾問題。該結果將巴塞爾問題從指數2擴展到任何偶數指數。

圖1：歐拉和他的里程碑式論文“關於倒數級數的和”。

前三個例子是：

式2：式1的第一個例子，k=1，2，3。第一個是巴塞爾問題，一年前由歐拉首次證明。

注意，式二2中的第一個例子是巴塞爾問題，歐拉在1734年就解決了這個問題。

圖2：1712年日本的關孝一（ Seki Kōwas）列出了二項式係數和伯努利數。

但在進行歐拉的精彩證明之前，必須先解釋伯努利數的概念。

圖3：雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）是其家族中最著名的數學家之一，他發現了伯努利數。

伯努利數

這是證明的第一部分。我首先提醒讀者泰勒級數的概念。泰勒級數可以定義為“函數關於一點的級數展開”。泰勒級數的主題非常廣泛，所以我不打算在這裏詳細討論它，我將只討論一種情況，即指數函數e的展開式。它是由：

式3：指數函數的泰勒級數。它的收斂半徑為∞，因此對於x∈ℝ的所有值它都收斂。

e^x的收斂半徑R為R=∞。這意味着式3是一個冪級數，對於x∈ℝ的所有值都收斂。

圖4：這個動畫顯示，當我們在式3中加入更多的項時，其值趨向於e^x。

現在，為了得到伯努利數我們需要兩步。第一步很簡單，等式3兩邊同時減去1，然後除以x，得到：

式4：對方程3進行簡單處理，得到函數(e^x-1)/x的泰勒級數。

對x≠0有效。伯努利數的定義如下:

式5：伯努利數是如何（間接）定義的。

為了找到B，我們將使用一些數學技巧。因為式4和式5是彼此的倒數，它們的乘積是1。然後我們可以在等式的右邊同時乘以n！

經過一些簡單的代數運算，我們得到了一個很好的表達式，它允許我們確定伯努利數：

式6：可以快速計算出伯努利數的方程。

那麼得到的第一個伯努利數是：

式7：由式6得到的第一個伯努利數。

正切函數及其冪級數

我們現在提供證明的第二部分。在這一節中，我們需要用伯努利數來表示tan x。讓我們首先考慮以下特性：

得出：

式8：伯努利數的冪級數。

現在我們執行兩個簡單的步驟。用2ix（其中i為虛單位）替換式8中的x，得到：

對式8的左邊做同樣的替換，我們得到：

式9：用伯努利數表示的x cot x的冪級數。

然後我們用三角恆等式：

和式9，得出：

式10：tanx的冪級數用伯努利數表示。

餘切函數及其部分分式

現在是證明的第三部分，也是最後一部分。利用部分分式，歐拉得到如下展開：

式11：對於非整數x，x cot πx的展開式同樣由歐拉發現。

我們現在比較式9和式11，用πx代替前者中的x。經過一些簡單的操作，我們得到了這個奇妙的表達式：

式12：我們想要的結果。注意指數總是偶數。奇指數沒有等價的展開式。

有趣的是，奇指數沒有類似的公式。當k=1時，立方的倒數的和等於一個數字—1.20，稱為Apéry常數，但沒有像式12那樣的一般公式。