式1：整數的偶數次冪的倒數的和。
歐拉的方法吸引了無數的數學家。歐拉早在1734年就證明了巴塞爾問題。該結果將巴塞爾問題從指數2擴展到任何偶數指數。
前三個例子是：
注意，式二2中的第一個例子是巴塞爾問題，歐拉在1734年就解決了這個問題。
但在進行歐拉的精彩證明之前，必須先解釋伯努利數的概念。
伯努利數
這是證明的第一部分。我首先提醒讀者泰勒級數的概念。泰勒級數可以定義為“函數關於一點的級數展開”。泰勒級數的主題非常廣泛，所以我不打算在這裏詳細討論它，我將只討論一種情況，即指數函數e的展開式。它是由：
式3：指數函數的泰勒級數。它的收斂半徑為∞，因此對於x∈ℝ的所有值它都收斂。
e^x的收斂半徑R為R=∞。這意味着式3是一個冪級數，對於x∈ℝ的所有值都收斂。
現在，為了得到伯努利數我們需要兩步。第一步很簡單，等式3兩邊同時減去1，然後除以x，得到：
式4：對方程3進行簡單處理，得到函數(e^x-1)/x的泰勒級數。
對x≠0有效。伯努利數的定義如下:
式5：伯努利數是如何（間接）定義的。
為了找到B，我們將使用一些數學技巧。因為式4和式5是彼此的倒數，它們的乘積是1。然後我們可以在等式的右邊同時乘以n！
經過一些簡單的代數運算，我們得到了一個很好的表達式，它允許我們確定伯努利數：
式6：可以快速計算出伯努利數的方程。
那麼得到的第一個伯努利數是：
式7：由式6得到的第一個伯努利數。
正切函數及其冪級數
我們現在提供證明的第二部分。在這一節中，我們需要用伯努利數來表示tan x。讓我們首先考慮以下特性：
得出：
式8：伯努利數的冪級數。
現在我們執行兩個簡單的步驟。用2ix（其中i為虛單位）替換式8中的x，得到：
對式8的左邊做同樣的替換，我們得到：
式9：用伯努利數表示的x cot x的冪級數。
然後我們用三角恆等式：
和式9，得出：
餘切函數及其部分分式
現在是證明的第三部分，也是最後一部分。利用部分分式，歐拉得到如下展開：
式11：對於非整數x，x cot πx的展開式同樣由歐拉發現。
我們現在比較式9和式11，用πx代替前者中的x。經過一些簡單的操作，我們得到了這個奇妙的表達式：
有趣的是，奇指數沒有類似的公式。當k=1時，立方的倒數的和等於一個數字—1.20，稱為Apéry常數，但沒有像式12那樣的一般公式。