近代自然科學在19世紀得到全面的發展和進步，因此在文化史上19世紀被稱為“科學的世紀”。在數學領域同樣表現出前所未有的成就：1801年，德國數學家高斯的《算術研究》為數論建立一個體系；非歐幾何學的誕生和綜合幾何學的復興為幾何的蓬勃發展打下了基礎；分析方法及數學分析基礎的建立推動了函數論的發展，併為20世紀數學的發展開闢了廣闊的前景。19世紀，數學革命性的變化，主要表現在四個方面。
新題材、新領域、新分支
19世紀之前的數學大致包括算術及數論、幾何，以及17一18世紀發展起來的代數和分析四大領域，其研究對象大都停留在比較自然的數、量、形上面。直到19世紀，數學思想得到空前的解放，更多的新對象被引入：
【數的擴充】新產生了負數、虛數、無理數、複數乃至四元數、八元數，而且從無理數和虛數中進一步區分出代數數、超越數；法國數學家伽羅瓦引進所謂伽羅瓦虛數；【量的概念的擴大】產生了向量、張量等概念，在新概念的基礎上，又出現了新的代數及分析領域；【演算對象的產生與擴大】對代數方程、方程組的解法和解的性質的探討，產生出一系列新對象：從線性方程組導致行列式、矩陣、線性空間、線性變換、線性型與多線性型等概念與理論的出現；從代數方程導致複數、對稱函數、置換等概念的引入，以及伽羅瓦理論與羣論的創立；高次聯立代數方程組，則導致代數幾何的產生，齊次多項式引出型論和不變式論；【形的概念的擴大】一直以來三維空間內的圖形，尤其是曲線和曲面是幾何學的研究對象。而德國數學家黎曼把幾何對象推廣到n維空間，並進一步廣到流形；【特殊函數擴大為一般函數】19世紀由橢圓積分的反演產生橢圓函數，後又推廣到超橢圓函數、阿貝爾函數，從而代數函數論得到蓬勃發展。一般函數論在19世紀後期全面發展起來。數學新對象的大量湧現，研究它們的新學科自然也就應運而生了。19世紀，數論由問題彙編發展成初具規模的理論：從方法上，引進代數數論、超越數論、二次型及高次型算術理論；從演算對象來看，不定方程擴大成龐大領域，出現丟番圖逼近理論，幾何數論、連分數算術理論等興學科。
幾何學從綜合幾何的復興，出現射影幾何、反演幾何、非歐幾何以及各種特殊對象的線幾何、圓幾何、球幾何等。由於解析方法的引進，19世紀的解析幾何已完備和定型化，並從中發展出兩大分支：代數幾何學與微分幾何學，成為20世紀幾何學的基礎。但是曲線及曲面幾何仍是主要對象。拓撲學及運動幾何學也有所發展。幾何學的研究在19世紀中仍超過數論、代數和分析的總和。
代數學仍然以方程求解及方程論為中心，出現伽羅瓦理論，以及置換羣及抽象羣和羣表示理論。方程求解問題並不因伽羅瓦理論而告終，沿着幾個方向繼續發展，用超越數解代數方程，以及用數值方法求解。除方程以外，線性代數與雙線性代數、行列式與矩陣、四元數與超復系等都為代數帶來多樣化。不變式論被第二次稱為近世代數，而真正的近世代數——抽象代數，卻萌芽於這些新的對象及理論當中。
19世紀末的數學家稱19世紀為分析或函數論的世紀。實分析的多樣化發展，特別是微分方程的求解引出大量的特殊函數，而從實到復的過渡引出複分析的有力工具，特別是橢圓函數及阿貝爾函數是19世紀分析的中心。到外爾斯特斯解析函數論只是大量特殊函數的一個簡要概括。一般的解析函數論到20世紀上半葉才有較大的發展，而它們卻植根於特殊函數的多樣性之中。
20世紀數學的結構數學主流大都源於這種多樣性，20世紀的數理邏輯及數學基礎也源於19世紀的先驅，從布爾到康托爾。可以説19世紀數學題材的多樣性造就了現代數學的豐富內容。
數學對象擴大+方法推廣
不同於自然科學，數學不以客觀實在為對象。19世紀以前，數學對象受制於哲學理念及古老的規定，到19世紀，數學家的思想開始得到解放。每一次打破陳舊的框架都引起一場風波、一場辯論，最終的勝利是數學對象的擴大。尤其幾何學最明顯，19世紀突破二維和三維歐幾里得幾何的框框，出現各種各樣的“非歐幾何學”：
不遵守平行公設的非歐幾何；不遵守三維限制的高維幾何學；不遵守阿基米德公理的非阿基米德幾何；複數的幾何學等等。在觀念上同樣有重大突破：
空間不一定由點構成，從而出現直線幾何學、圓幾何學等；圖形不一定非裝在大空間裏，出現流形的概念以及內藴幾何學或自然幾何學；引入無窮遠點、無窮遠線等理想元素，形成新的幾何對象；研究一層一層的結構，其中最基礎的是點集及抽象集合。
在19世紀初期，數學家習慣於具體的、特殊的對象，避開抽象的、一般的對象。但隨着認識的深入，逐步接受那些奇異的甚至病態的對象，如處處連續而處處不可微的函數，填滿方形的曲線等。隨着數學的深化，病態的對象也被接納進來，且在之後的發展過程中產生了意想不到的應用。
層次化、嚴密化
18世紀以前，數學家大都擅長計算，解決問題大都是用特殊技術、特殊方法去攻特殊對象的一些特殊問題。到19世紀，數學家開始逐步考慮更高層次的問題，對於微分方程，研究解的存在性與惟一性問題。研究題材的轉變不僅是過去肓目求解失敗的經驗總結，也是為尋找新的求解方法從理論上掃清道路。
思想方法的改變也帶來對方法的嚴密性追求。19世紀分析代替幾何在數學中佔統治地位之後，分析的有效性不成問題，但嚴密性卻受到挑戰。因此，整個19世紀不斷對這個問題進行探索，最終由外爾斯特拉斯等人解決。
追求統一性
19世紀數學分支的爆炸性增長，使得數學專業化日益嚴重，形成相互隔離的局面。19世紀初，數學家已經被分為分析學家、幾何學家，前者也包括數論、代數專家。到1870年以後，由於羣的概念的成熟，一些大數學家，特別是若爾當、克萊因、李、龐加萊等人，嘗試以羣的觀念來統一數學，取得了相當的成功。羣的概念不僅聯繫代數方程，而且也用到了微分方程、函數論，特別是幾何學，從而涵蓋了大部分當時的數學。另一方面，19世紀四大領域外的四大分支：代數數論、代數函數論、代數幾何學與代數不變式論，直接導向當時的理想理論，進而發展成後來的交換環論以及部分域論。對這些部分統一性的抽象化，最終導致20世紀結構數學的萌芽。
19世紀歐洲的社會環境為數學發展提供了沃土。19世紀的數學已不再是少數人的工作，數學教學與研究有機地結合在一起，已成為一種社會職業，數學家的人數與研究成果劇增。另外，隨着基礎教育的普及，大學數學教學的改進，培養數學家的道路基本定型化。19世紀末，絕大多數數學家是大學畢業，通過取得博士學位後成為數學家。當時已有足夠的職位提供給優秀的數學家。數學家也是以其論文來顯示其能力的。19世紀，共有950種以上的期刊，全部或部分刊載數學論文。到19世紀後期，各國的科學促進會和數學會相繼成立，對數學的交流起了有益的作用。在1897年，由各國數學會發起，在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數學家大會。以後成為一項定期舉辦的國際學術活動，對數學發展起着重要的促進作用。
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