圓是一種特殊的幾何圖形,相信大家都非常熟悉,因為從小學數學開始一直到高中數學,圓都是重要的學習內容。特別是在中學階段,因為它具備許多重要的性質,成為考試重點考查對象,深受命題老師的青睞。
如在歷年的高考數學試題中,與圓有關的試題一般為中等或偏易題,主要以小題的形式考查基礎知識。不過在一些省市的高考試卷當中,會出現以圓為知識背景的綜合問題,成為解析幾何考查的重中之重。
高考對圓的考查,涉及到了圓的所有內容,主客觀題兼有,甚至有壓軸題,但只要抓住圓的幾何性質,就可以迅速獲得解題途徑。
如求與圓有關的軌跡問題時,根據題設條件的不同常採用以下方法:
(1)直接法:直接根據題目提供的條件列出方程;
(2)定義法:根據直線、圓、圓錐曲線等定義列方程;
(3)幾何法:利用圓與圓的幾何性質列方程;
(4)代入法:找到要求點與已知點的關係,代入已知點滿足的關係式等。
圓有關的知識定理和方法技巧是進一步研究圓錐曲線的基礎,它們滲透到平面解析幾何的各個部分,是解決解析幾何問題的重要工具之一,當然也是高考數學必考內容之一。
綜觀歷年高考數學試卷,圓有關的知識內容和題型在全國各省市高考試卷中頻繁出現,既考查基礎知識的應用能力,又考查考生綜合運用知識分析問題和解決問題的能力。從相關的問題分析來看,圓強化了與其他知識的綜合應用和對自身有關內容挖掘的考查,如直線的參數方程、圓的參數方程等知識,這也是近幾年高考數學命題中的一個新的動向。
圓有關的高考數學試題分析,典型例題1:
已知圓x²+y²=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點.
(1)求線段AP中點的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.
解:(1)設AP的中點為M(x,y),
由中點座標公式可知,P點座標為(2x-2,2y).
因為P點在圓x²+y²=4上,
所以(2x-2)²+(2y)²=4.
故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)²+y²=1.
(2) 設PQ的中點為N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,
設O為座標原點,連接ON,則ON⊥PQ,
所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²,
所以x²+y²+(x-1)²+(y-1)²=4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x²+y²-x-y-1=0.
我們結合具體的高考數學試題,通過分析和研究,總結試題的命題規律及試題特點,希望能幫助大家找到複習方法,對這一部分的複習有一個明確的方向。如學會利用待定係數法求圓的方程關鍵是建立關於a,b,r或D,E,F的方程組;利用圓的幾何性質求方程可直接求出圓心座標和半徑,進而寫出方程,體現了數形結合思想的運用。
在高考數學試卷中,與直線和圓的方程相關的試題既有選擇題、填空題,又有解答題,試題既遵循了注重通性通法、淡化特殊技巧的命題原則,又適度體現了靈活運用技巧解題的空間。
圓有關的高考數學試題分析,典型例題2:
已知圓M過兩點C(1,-1),D(-1,1),且圓心M在x+y-2=0上.
(1)求圓M的方程;
(2)設P是直線3x+4y+8=0上的動點,PA、PB是圓M的兩條切線,A,B為切點,求四邊形PAMB面積的最小值.
直線的方程考查了直線的斜率、傾斜角,兩條直線的位置關係(平行和垂直),關於直線的對稱問題,求直線的方程,點到直線的距離公式等有關問題,其中重點考查了求直線的方程和點到直線的距離公式問題。
圓的方程考查了圓的參數方程、求圓的標準方程和一般方程、直線與圓的位置關係、點與圓的位置關係,圓與其他知識的綜合問題,重點考查了求圓的方程和直線與圓的位置關係。在解決問題的過程中,數形結合思想和轉化與化歸思想得到了充分體現。
圓有關的高考數學試題分析,典型例題3:
已知以點P為圓心的圓經過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P於點C和D,且|CD|=4√10.
(1)求直線CD的方程;
(2)求圓P的方程.
圓是最簡單和最基本的幾何圖形,是進一步研究圓錐曲線的基礎,因而成為高考數學必考內容之一。圓的方程屬於解析幾何的基礎知識,在歷年高考中多以中低檔題出現,主要考查基礎知識和基本方法,同時鑑於它的基礎性和工具性,又容易與其他知識聯繫和交叉,如與向量、圓錐曲線、函數、不等式等的綜合題。
在平時數學學習過程中,大家要努力提高數學應用意識和實踐能力,系統的掌握基礎知識和基本方法,注重一些常規問題的基本解法,在抓住通性通法的同時,有意識地訓練常用解題技巧,從而使自己能能迅速和準確地解決問題。
在高三數學複習中,學會尋求知識網絡的交會點,加大知識交會的整合力度是提高複習效率的重要方法,也與高考題的設計相吻合。圓的參數方程會滲透三角函數;導數的幾何意義是切線的斜率;由於一次函數的圖象是直線,因此有關函數、不等式等的代數問題往往藉助於直線方程來解決。