直線與橢圓位置關係的進行判斷，如一般都是將直線的方程和橢圓的方程聯立，通過討論此方程組的實數解的組數來確定，即用消元后的關於x(或y)的一元二次方程的判斷式Δ的符號來確定：
1.當Δ>0時，直線和橢圓相交；
2.當Δ＝0時，直線和橢圓相切；
3.當Δ
直線與橢圓的位置關係作為橢圓當中最為複雜的綜合問題，常常與平面幾何、直線方程與兩直線的位置關係、圓、平面向量、函數最值、方程、不等式等知識進行聯繫，增強知識的應用層面。這些綜合變化都對考生的數學能力提出挑戰，如考生在平時數學學習過程中，要大力提高自身的字母運算能力、邏輯推理能力、語言轉化能力、數形轉化能力等。
如圖，在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：x²/4+y²/3=1的左、右頂點分別為A，B，過右焦點F的直線l與橢圓C交於P，Q兩點（點P在x軸上方）．
（1）若QF=2FP，求直線l的方程；
（2）設直線AP，BQ的斜率分別為k₁，k₂，是否存在常數λ，使得k₁=λk₂？若存在，求出λ的值；若不存在，請説明理由．
直線與橢圓的位置關係．
題幹分析：
（1）由橢圓方程求出a，b，c，可得F的座標，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，求得P，Q的縱座標，再由向量共線的座標表示，可得m的方程，解方程可得m，進而得到直線l的方程；
（2）運用韋達定理可得y₁+y₂，y₁y₂，my₁y2，由A（﹣2，0），B（2，0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，運用直線的斜率公式，化簡整理計算可得常數λ的值，即可判斷存在．
在平面直角座標系xOy中，已知橢圓x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的左焦點為F（﹣1，0），且經過點（1，3/2）．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知橢圓的弦AB過點F，且與x軸不垂直．若D為x軸上的一點，DA=DB，求AB/DF的值．
直線與橢圓的位置關係．
題幹分析：
（1）根據橢圓的定義，即可求得2a=4，由c=1，b²=a²﹣c²=3，即可求得橢圓的標準方程；
（2）分類討論，當直線的斜率存在時，代入橢圓方程，由韋達定理及中點座標公式求得M點座標，求得直線AB垂直平分線方程，即可求得D點座標，由橢圓的第二定義，求得丨AF丨=（x1+4）/2，即丨BF丨=（x2+4）/2，利用韋達定理即可求得丨AB丨，即可求得丨AB丨/丨DF丨的值．
已知橢圓C：x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）的短軸長為2，且函數y=x2﹣65/16的圖象與橢圓C僅有兩個公共點，過原點的直線l與橢圓C交於M，N兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）點P為線段MN的中垂線與橢圓C的一個公共點，求△PMN面積的最小值，並求此時直線l的方程．
直線與橢圓的位置關係．
題幹分析：
（1）由題意可得：2b=2，解得b=1．聯立x²/a²+y2=1（a＞1）與y=x2﹣65/16，可得：x4+（1/a²-65/8）x²+81×49/16²=0，根據橢圓C與拋物線y=x2﹣65/16的對稱性，可得：△=0，a＞1，解得a．
（2）①當直線l的斜率不存在時，S△PMN=1/2×2b×a；當直線l的斜率為0時，S△PMN=1/2×2b×a．
②當直線l的斜率存在且不為0時，設直線l的方程為：y=kx，與橢圓方程聯立解得x2，y2．|MN|=2√（x²+y²）．由題意可得：線段MN的中垂線方程為：y=﹣x/k，與橢圓方程聯立可得|OP|=√（x²+y²）．利用S△PMN=1/2×|MN|×|OP|，與基本不等式的性質即可得出。