圓的知識與此內容相結合，題目難度大增，構造全等三角形是關鍵

各位朋友，大家好！近來一段時間，數學世界將持續為大家分享初中數學題，希望筆者的分析與講解能夠為廣大初中生學好數學提供一些幫助！今天，數學世界分享一道有關圓與全等三角形等知識相結合的幾何綜合題。

一直以來，數學世界都是精心選擇一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們對數學這門課程的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看題目吧！

例題：（初中數學題 圓與全等三角形相結合）如圖，已知△ABC內接於⊙O，AC=BC，弦CD與AB交於E，AB=CD，過A作AF⊥BC於F．

（1）判斷AC與BD的位置關係，並説明理由；

（2）求證：AC=2CF+BD.

知識回顧

圓周角定義：頂點在圓上,並且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

圓周角定理：一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。

定理推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。

分析：（1）由弦相等得到弧相等，再根據“同弧或等弧所對的圓周角相等”，證明∠ABD=∠CAB，即可得出結論：AC∥BD．

（2）根據需要證明的結論AC=2CF+BD，以及這三條線段的特點，作出恰當的輔助線構造出全等三角形。在BF上取一點H，使得FH=FC，連接AH，AD．這樣CH=2CF，只要證明△ABH≌△ABD，便可以推出BD=BH，於是可得結論．

請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！

解答：（1）解：AC與BD的位置關係是：AC∥BD．

理由：連接BD．

∵AB=CD，

∴弧AB=弧CD，

∴弧AD=弧BC，（減去公共弧BD）

∴∠ABD=∠CAB，（等弧所對的圓周角相等）

∴AC∥BD．

（2）證明：在BF上取一點H，使得FH=FC，連接AH，AD．

∵AF⊥CH，FC=FH，

∴AC=AH，（垂直平分線的性質）

∴∠ACH=∠AHC，

∵∠ACH+∠ADB=180°，（圓的內接四邊形對角互補）

∠AHC+∠AHB=180°，

∴∠ADB=∠AHB，

∵弧AD=弧BC，（已證）

∴AD=BC，

∵AC=AH，AC=BC，

∴AD=BC=AC=AH，

∴AD=AH，弧AD=弧AC，

∴∠ABH=∠ABD，

∴△ABH≌△ABD（AAS），

∴BD=BH，

∴AC=BC=CF+FH+BH=2CF+BD，

即AC=2CF+BD.

（完畢）

這道題屬於綜合題，考查了圓周角的知識、平行線的判定、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的性質，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。