2021年高考數學選題解析第十六期

本次選題共8個小題加1個大題，難度中等，閲讀時間建議為20分鐘，解題時間建議限定在40分鐘之內，題目如下：

分析：不等式有三個未知量：x,a,θ，顯然要進行消元處理，題目中已知θ的範圍，且不等式中包含了sinθcosθ和sinθ+cosθ，這是常見的三角函數關係，因此最恰當的是消x，不等式是+的形式且x係數相等，可採用如下紅框中的常用不等式形式消去x，轉化為a與θ有關的恆成立問題，本題目的關鍵在於這個常用不等式的使用。

分析：根據f(x)的形式很容易猜到數列{an}為等差數列，這樣用錯位法即可求出f(1/3)，根據題目中的前後遞推等式，利用待定係數法即可求出an的通項公式，這也是這個題目最有價值的地方，當然在確定an為等差的前提下求出a1,a2也可，通過本題目同學們可回顧一下遞推公式中待定係數法的使用。

分析：本題目可作為高一函數的壓軸題，這種互為反函數對稱的題目出現過很多次了，A選項可根據對稱確定出，B選項直接利用均值不等式即可，D選項可雙變量轉單變量來確定範圍，題目有價值的地方是C選項的確認，顯然不可直接利用x2=2-x1轉化，因為ln(2-x1)不好處理，可試着將lnx1和lnx2轉化為同一個，這樣對數是正負就容易確定，整個式子的正負也很容易確定了。

分析：本題目沒有太大難度，若|sinA-sinB|=2，則sinA=1，sinB=-1或sinA=-1,sinB=1，取一種即可，將各自取得最值時對應的值表示出來即可，需要注意下方為什麼當k1-k2=0時取得最小值，當k1-k2>0或k1-k2<0時均不符合最小，自己可以用特定值試一下。

分析：注意本題目並沒有確定出λ,μ的正負，若兩者皆正，可用等和線確定出投影的範圍為[1,2]，因此可排除A,B，若λ,μ一正一負時用等和線反而更麻煩，反而不如直接用向量乘積的形式來確定投影的範圍，注意下方過程中為什麼要把λ分成如下範圍，λ+2可正可負，不可直接放到根式裏面，且λ會作為分母存在，要考慮是否為零。

分析：這個題目用特定情況確定更簡單，假設P點在準線上，MN恰好為通徑，此時結果為定值1,但如果作為大題來看，本題目最有價值的地方是如何直接寫出切線和切點弦方程，這裏做一個擴展，解析幾何中的切線問題需要注意的是橢圓和拋物線上一點處切線方程的求法，以橢圓或拋物線或圓外一點作兩條切線切點分別為A,B，過A,B兩點的切點弦方程的寫法，雙曲線不怎麼要求，另外與橢圓相關的還有蒙日圓的相關知識。

分析：這算是本次選題中最難的一道題目了，根據遞推公式不可能直接求出an的通項公式，設an=2021bn可去掉其中扎眼的2021，通過an的整體範圍可確定出bn的整體範圍，再確定出右側累加部門的範圍，此時即可用n表示出bn的範圍，再確定符合要求的n即可，注意通過bn的範圍確定累加式子的範圍時為什麼沒有等號，若取等號，則表明bn為常數列，與an遞增違背。

分析：注意本題目的解析過程不完整，將函數零點轉化為兩函數圖像的交點，這種題目肯定與對稱有關，兩函數均關於(π,0)對稱，因此若零點之和為5π,則兩函數必定有五個交點，當a>0時，三次函數單增，若三次函數在x=5π/2時的函數值≤1，則肯定有五個交點，但這不是充要條件，通過這個不等式可確定出A,C符合題意，至於D選項也是符合題意的，但判定起來相當繁瑣，可通過f(x)的單調性和極值點以及零點存在定理來綜合確定，有興趣的同學可以自己試一下，當a<0時，三次函數單減，可通過判定x=-3π/2處的三次函數值與1的大小來判定交點個數，本題目符合要求的選項為A,C,D

分析：第一問用換元法，還算比較巧妙，換元時令t=xe^x，恰好第二問也與之相關

第二問整體難度不大，是常規的雙變量問題，值得注意的是下方中的部分，為什麼不可以直接設函數求範圍，很顯然一個反比例函數與對數函數相乘，幾階導數均無法消除lnx，這是處理指對數函數中的常規做法，將lnx獨立，將e^x與之整體相乘除，總的來説這個導數題目難度中等，值得一做。