各位朋友，大家好！“數學視窗”給大家分享一道有關圓的綜合題，這道題目給出的條件較多，題目的難度也比較大，屬於中考的壓軸題，很多人看到此題後，是直接放棄。當然，對於成績一般的學生來説，做出第一問就不錯了，後面兩問比較難，選擇放棄是合理的。此題考查了圓周角定理，切線的判定與性質，相似三角形，鋭角三角函數，勾股定理，平行線的性質等。下面，我們就一起來看這道例題吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖1，AB是⊙O的直徑，點P在⊙O上，且PA=PB，點M是⊙O外一點，MB與⊙O相切於點B，連接OM，過點A作AC∥OM交⊙O於點C，連接BC交OM於點D．
（1）求證：MC是⊙O的切線；
（2）若OD=9，DM=16，連接PC，求sin∠APC的值；
（3）如圖2，在（2）的條件下，延長OB至N，使BN=24/5，在⊙O上找一點Q，使得NQ+3/5MQ的值最小，請直接寫出其最小值．
（2）根據△MCD∽△COD，知CD^2=OD·MD，得出CD=BD=12，再根據解直角三角形得出結果即可；
（3）在OM上取點D，使OD/OQ＝3/5，得出△ODQ∽△OQM恆成立，再根據當D、Q、N共線時，DQ+QN最小，則可得出答案．
解答：（以下的過程僅供參考，部分過程進行了精簡，並且可能還有其他不同的解題方法）
（1）證明：連接OC，（證切線，連半徑）
∵AC∥OM，
（平行線的性質）
∴∠OAC=∠BOM，∠ACO=∠COM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∴∠BOM=∠COM，（等量代換）
在△OCM與△OBM中，
OC＝OB，
∠BOM＝∠COM，
OM＝OM，
∴△OCM≌△OBM（SAS），
∴∠OCM=∠OBM，
∵MB是⊙O的切線，
∴∠OCM=∠OBM=90°，
∴MC是⊙O的切線；
∴OM⊥BC，
∴∠ODB=∠ODC=90°，
∵OC⊥MC，
∴∠OCM=90°，
∴∠COM=∠DCM，
∴△MCD∽△COD，
∴OD/CD＝CD/MD，
即9/CD＝CD/16，
∴CD=BD=12，
在Rt△BOD中，由勾股定理，
得OB=15，
∴sin∠ABC=OD/OB＝3/5，
∵∠APC=∠ABC，
∴sin∠APC=sin∠ABC=3/5；
在OM上取點D，使OD/OQ＝3/5，
（作輔助線構造相似三角形）
∵OQ/OM＝15/25＝3/5，
∴OD=9，
∵OD/OQ＝OQ/OM＝3/5，
且∠DOQ=∠QOM，
∴△ODQ∽△OQM，
∴DQ=3/5MQ，
∴求NQ+3/5MQ的值最小，相當於求NQ+DQ最小值，
∴當D、Q、N共線時，DQ+QN最小，
∴NQ+3/5MQ最小值為DN，
作DH⊥ON於點H，
∵sin∠DOH=4/5，cos∠DOH=3/5，
可得OH=9×3/5=27/5，
DH=9×4/5=36/5，
∴NH=15-27/5+24/5=72/5，
在Rt△DNH中，由勾股定理，
得DN=36√6 / 5，
即NQ+3/5MQ的最小值為36√6 / 5.
（完畢）
這道題考查了圓周角定理，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，鋭角三角函數，勾股定理，平行線的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家給“數學視窗”留言或者參與討論。