數學直觀是數學核心素養的重要組成部分，數學直觀是以“幾何圖形”為載體，藉助於幾何圖形的形象關係抽象出數量關係，用於計算求值或演繹推理證明，通過演算和推理，不斷提高思維的精確性和嚴密性.以此培養學生嚴謹的分析問題、解決問題的能力.
學生在對勾股定理的研究中會逐漸體會到數形結合思想、方程思想，同時在用面積法驗證勾股定理時會用到轉化思想(將正方形的面積轉化為三角形的面積來求).
《周髀算經》介紹了勾股定理及其在測量上的應用，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，並創制了一幅“勾股圓方圖”也叫“趙爽弦圖”，利用幾何圖形的截、割、補、拼來證明代數式之間的恆等關係，給出了勾股定理的詳細證明.此圖具有嚴密性、直觀性的特點，為我國古代以形證數，形數統一，代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範.本題以“趙爽弦圖”為載體，考查了正方形的性質和完全平方公式等知識，滲透了數形結合的數學思想.
一、互逆命題與互逆定理
1.互逆命題：如果兩個命題的題設和結論正好相反，那麼這樣的兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做它的逆命題.
2.互逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那麼它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.
3.互逆命題與互逆定理間關係：(1)命題有真有假，而定理都是真命題.
(2)每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理.
例1.下列命題的逆命題是真命題的是
A.兩條直線平行，內錯角相等
B.如果兩個實數相等，那麼它們的平方相等
C.如果兩個實數相等，那麼它們的絕對值相等
D.全等三角形的對應角相等
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那麼這個三角形是直角三角形.
2.解題步驟：(1)先比較a，b，c的大小，找出最大邊長；(2)計算兩較小邊長的平方和以及最大邊長的平方；
(3)比較計算結果，若相等，則是直角三角形，並且最長邊所對的角是直角；若不相等，則不是直角三角形.
勾股定理的逆定理通常用來判斷直角三角形或證明線段的垂直關係.
例2.△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25.在△ABC內有一點P到各邊的距離相等，則這個距離為
A.1 B.2 C.3 D.4
例3.某三角形兩邊的長為4和5,要使該三角形為直角三角形，則第三邊長為
A.3 B. √41 C.√41或3 D.不確定
例4.已知Rt△ABC中，∠C=90°,若a+b=14 cm,c=10 cm,則S△ABC為
A.24 cm² B.36 cm² C.48 cm² D.60 cm²
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三、常見勾股數
1.勾股數：滿足a²+b²=c²的三個正整數，成為勾股數，勾股數擴大相同倍數後，任然是勾股數.
2.常見勾股數：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17.
四、勾股定理逆定理常見運用
1.勾股定理逆定理判定直角三角形形狀的方法
（1）先確定最長邊，算出最長邊的平方；
（2）計算另兩邊的平方和；
（3）比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則三角形為直角三角形.
例5.在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c互不相等,設c為最長邊,當a2+b2=c2時,△ABC是直角三角形;當a²+b²≠c²時,利用代數式a²+b²和c²的大小關係,探究△ABC的形狀(按角分類).
(1)當△ABC三邊長分別為6、8、9時,△ABC為 三角形;當△ABC三邊長分別為6、8、11時,△ABC為 三角形;
(2)猜想:當a²+b² c²時,△ABC為鋭角三角形;當a²+b² c²時,△ABC為鈍角三角形;
(3)判斷當a=2,b=4時,△ABC的形狀,並求出對應的c的取值範圍.
總結：（1）若a²+b²>c²，三角形為鋭角三角形;
（2）若a²+b²=c²，三角形為直角三角形;
（3）若a²+b² 2.利用勾股定理逆定理求不規則圖形的面積方法 （1）作出適當的輔助線將不規則圖形分割成面積可求部分及一個三邊已知的三角形； （2）利用勾股定理逆定理證明該三角形為直角三角形； （3）求出該直角三角形的面積求出原圖形的面積. 3.證明線段平方和關係 （1）利用平移、旋轉、對稱等全等變換將需證明的三條線段轉移到同一三角形中； （2）利用角度關係證明該三角形為直角三角形； （3）利用勾股定理得出線段平方和關係. 4.數形結合解決無理不等式或無理式最值問題 （1）將所需表示的無理式表示成 勾股數的平方和形式； （2）將表示無理數的線段在平面適當組合； （3）利用三角形三邊關係證明無理數不等式或兩點之間線段最短求出無理式最值. 5.解決圖形翻折問題 （1）首先分清圖形摺疊前後關係； （2）將翻折中得到的直角三角形三邊長度求出或用未知數表示出來； （3）利用勾股定理逆定理列出方程，求出未知數的值. 例6.摺疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。 6.求立體圖形表面爬行最短路徑 （1）將立體圖形側面展開到一個平面中； （2）利用兩點之間線段最短在展開的平面中找到最短路徑； （3）利用勾股定理求出最短路徑. 例7.如圖，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當移動三角板頂點P： ①能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請説明理由. ②再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH 始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交於點Q，與BC交於點E，能否使CE=2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你説明理由. 例8.如圖5，將正方形ABCD摺疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，摺痕交AD於E，交BC於F，邊AB摺疊後與BC邊交於點G。如果M為CD邊的中點，求證：DE：DM：EM=3：4：5。 例9.如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE摺疊，頂點D正好落在BC邊上F點處，已知CE=3cm，AB=8cm，則圖中陰影部分面積為_______．
