平面直角座標系
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知識會
知識點1 平面直角座標系及有關概念【基礎】
1. 平面直角座標系
在平面內兩條互相垂直的數軸構成平面直角座標系，簡稱為直角座標系.
2. 座標軸
水平方向的數軸稱為x軸或橫軸，向右為正方向，
鉛直方向的數軸稱為y軸或縱軸，向上為正方向.
兩軸的交點O是原點.
(2)通常兩條座標軸上的單位長度要一致(如圖1)，但特殊情況下，根據實際需要，不同軸上的單位長度也可以不一致(如圖2)，但同一座標軸上的單位長度必須相同．
(2)除了以上“三要素”，每條數軸也要畫全自己的“三要素”：原點、正方向和單位長度，並標出相應的“x”和“y”.正方向一般要符合通常的習慣取法：橫軸向右為正，縱軸向上為正．
示範例題
例題1.(單選題)如圖所示，其中所畫的平面直角座標系符合要求的是( )
B.B
C.C
D.D
【答案】D
【解析】圖A中兩條座標軸不垂直，故A不正確；
圖B中兩條數軸不是在原點相交，故B不正確；
圖C中y軸沒有畫出正方向，也沒有標明單位長度，故也排除；
只有圖D符合平面直角座標系的各項要求，故選D．
點撥
畫平面直角座標系時，既要求每條數軸都要畫全“三要素”，還要求兩條數軸“互相垂直”且“原點重合”，並標明“x”“y”和“原點”．
知識點2 點的座標【基礎】
1. 點的座標
在平面直角座標系中,一對有序實數可以確定一個點的位置:反過來,任意一點的位置都可以用一對有序實數來表示.這樣的有序實數對叫做點的座標.
示例：點P的座標為(a,b),其中a稱為點P的橫座標,b稱為點P的縱座標，橫座標寫在縱座標的前面.
(1 )確定橫座標：從該點向x軸作垂線,垂足在x軸上的數字為該點的橫座標.
(2)確定縱座標：從該點向y軸作垂線，垂足在y軸上的數字為該點的縱座標.
(3)表示座標：用有序實數對將它表示出來，即橫座標在前,縱座標在後,中間用"，”分開,並用小括號將它們括起來.
示例：
如圖，確定點A、點B的座標．
(1)由點A向x軸作垂線，垂足M在x軸上的座標是－2，我們就説點A的橫座標為－2；
(2)由點A向y軸作垂線，垂足N在y軸上的座標是2，我們就説點A的縱座標為2．
(3)有序數對(－2，2)就叫做點A的座標，記作A(－2，2)．同理，點B的座標是(1，－3)，記作B(1，－3)．
有序實數對P(a，b)與P(b，a)數字一樣,但順序不同,它們表示的點的位置不同.
3. 已知點的座標確定點的位置(描點)
在平面直角座標系中描出點P(a，b)．
點p的橫座標為a，過x軸上表示a的點作x軸的垂線．同理，過y軸上表示b的點作y軸的垂線，兩條垂線的交點即為點P的位置．
示例：
在平面直角座標系中描出點A(－3，－1)．
點A的橫座標為－3，因此過x軸上表示－3的點作x軸的垂線．同理，過y軸上表示－1的點作y軸的垂線，兩條垂線的交點即為點A的位置，如圖所示．
(2)點(a,b)到x軸與y軸的距離分別是|b|,|a|.
(3)座標軸上點的座標：x軸上到原點的距離為|a|(a≠0)的點的座標為(a，0)，(－a，0)，y軸上到原點的距離為|b|(b≠0)的點的座標為(0，b)，(0，－b)，可類比數軸上的點與實數關係來研究．
示範例題
例題1.(單選題)[2020湖北武漢漢陽區期中]小明家位於公園的正西100米處，從小明家出發向北走200米就到小華家．若選取小華家為原點，分別以正東，正北方向為x軸，y軸正方向建立平面直角座標系，規定一個單位長度代表1米長，則公園的座標是()
A．(﹣200，100)
B．(200，﹣100)
C．(﹣100，200)
D．(100，﹣200)
【答案】D
【解析】如圖所示，公園的座標是(100，﹣200)．
故選D．
知識點3 象限的劃分與點的座標特徵【基礎】
1. 象限的劃分
如圖所示，兩條座標軸將平面分成的4個區域稱為象限.
按逆時針順序分別記為第一、二、三、四象限.
(2)第二、四象限角平分線上的點的橫、縱座標互為相反數．
示範例題
例題1.(單選題)[2019四川成都龍泉驛區期末]在平面直角座標系中，如果點A的座標為(﹣1，3)，那麼點A一定在()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】∵點A的橫座標為負數、縱座標為正數，
∴點A一定在第二象限.
故選B．
知識點4 圖形變換與點的座標變化【基礎】
1. 對稱點的座標特徵
(1)關於x軸對稱
橫座標相同，縱座標互為相反數，即點P(a，b)關於x軸對稱的點是(a，－b).
(2)關於y軸對稱
橫座標互為相反數，縱座標相同，即點P(a，b)關於y軸對稱的點是(－a，b).
(3)關於座標原點對稱
橫、縱座標都互為相反數，即點P(a，b)關於座標原點對稱的點是(－a，－b).
例題1.(單選題)[2020湖北孝感大悟縣期中]已知點P(3，﹣2)，將它先向左平移5個單位，再向上平移4個單位後得到點Q，則點Q的座標是()
A．(8，2)
B．(﹣2，﹣6)
C．(﹣1，1)
D．(﹣2，2)
【答案】D
【解析】把點P(3，﹣2)先向左平移5個單位，再向上平移4個單位後得到點Q，則點Q的座標(﹣2，2)．
故選D．
知識點5 建立平面直角座標系【基礎】
1. 建立平面直角座標系的步驟
(1)分析條件，選擇合適的點作為原點；
(2)過原點在兩個互相垂直的方向上分別作出x軸和y軸；
(3)確定正方向、單位長度.
2. 建立平面直角座標系的原則
(1)使圖形中儘量多的點在座標軸上;
(2)以某些特殊線段所在直線為x軸或y軸，如三角形的高、中線等;
(3)以對稱圖形的對稱軸為x軸或y軸；
(4)以某些已知點為原點，使其座標為(0,0).
(1)根據條件建立適當的直角座標系是確定點的座標的必經過程,只有在建立適當的直角座標系的基礎上,點的位置才能被確定,這是數形結合思想的體現.
(2)在直角座標系中，圖形放置的位置不同或所建立的直角座標系不同,所得點的座標也不同.
示範例題
例題1.(單選題)[2019廣西岑溪市期末]如圖，是岑溪市幾個地方的大致位置的示意圖，如果用(0，0)表示孔廟的位置，用(1，5)表示東山公園的位置，那麼體育場的位置可表示為()
B．(0，1)
C．(1，1)
D．(﹣1，1)
【答案】A
【解析】如圖所示，體育場的位置可表示為(﹣1，﹣1)．
故選A．
要點1 座標軸不是水平、豎直的平面直角座標系問題【難點】
(1)縱座標為0，橫座標互為相反數的兩點所在直線為x軸，兩點中點為原點；
橫座標為0，縱座標互為相反數的兩點所在直線為y軸，兩點中點為原點.
(2)平行於x軸的直線上的點的縱座標相同；
平行於y軸的直線上的點的橫座標相同.
示範例題
例題1.(單選題)在平面直角座標系中，A，B，C，D，M，N的位置如圖所示，若點M的座標為(－2，0)，N的座標為(2，0)，則在第二象限內的點是( )
B.B點
C.C點
D.D點
【答案】A
【解析】如圖，因為點M，N的縱座標均為0，橫座標互為相反數，
所以直線MN所在的直線就是x軸，線段MN的中點是原點，過原點且垂直於x軸的直線是y軸.
由圖可知，點A在x軸的上方，在y軸的左邊，所以點A在第二象限內.
故選A．
先由M，N的縱座標特點，判斷出x軸就是直線MN，且向右下方向為正方向，是解題的突破口．當準確建立了直角座標系後，點A的位置便一目瞭然了．再根據對象限的劃分，即可知道點A在第幾象限．
要點2 在平面直角座標系中求圖形的面積【重點】
在平面直角座標系中求圖形的面積的方法如下：
(1)若圖形為三角形，當三角形有一條邊與座標軸平行或重合時，直接應用三角形的面積公式進行計算；
若沒有，一般用割補法將三角形的面積轉化為若干個三角形或特殊四邊形的面積的和或差進行求解.
(2)若圖形為不規則多邊形，通過割補法將其轉化為規則圖形再求解.
示範例題
例題1.(解析題)課外活動期間，數學老師領着數學興趣小組走出教室，來到校園，並佈置任務：各自建立自己喜歡的直角座標系，並用座標表示出校門、花壇、教學樓、旗杆、圖書館、宿舍的位置．如圖所示的方格圖是某學校的平面示意圖，小超建立好自己的平面直角座標系後，隨手寫上花壇(3，0)，宿舍(1，1)．小強看見後，忙提醒他：“錯了！錯了！”小超則覺得他大驚小怪：“怎麼會錯了呢？”
同學們，你覺得小超表示花壇、宿舍的座標正確嗎？如果不正確，請説明理由；如果正確，請寫出教學樓、旗杆、圖書館、校門的座標．
【解析】小超表示花壇、宿舍的座標正確．
其實小超建立的直角座標系如圖所示.
他把OA規定為一個單位長度，OA＝OB，
花壇的座標自然是(3，0)，
宿舍的座標是(1，1)，
其他點的座標分別為：教學樓(2，0)，旗杆(3，1)，圖書館(1，0)，校門(2，－1)．
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