原題
原題：已知函數f(x)=(1+lnx)/x－a(a∈R)。
⑴若f(x)≤0在（0，+∞）上恆成立，求a的取值範圍，並證明：對任意的n∈N+，都有1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)；
⑵設g(x)=(x－1)^2·e^x，試討論方程f(x)=g(x)實數根的個數。
該題分為兩問，第一問又分為兩個小問，
第二問是討論方程f(x)=g(x)實數根的個數，且函數f(x)中存在字母a。
第一步，將字母a單獨的表示出來，即a=h(x)的形式；
第二步，將等式左邊看成直線y=a，將等式右邊看成一個函數，求出等式右邊的函數的曲線變化——函數的單調性和該函數的最大值和最小值；
第三步，根據字母a的變化區間得出與該函數h(x)的交點的個數。
下面就講解題的過程中詳細的説明常見方法的解題步驟。
第一問
第一問的第一小問是一個恆成立的問題，求實數a的取值範圍，這樣的題也是有常見的方法。
常見的方法：
第一步，根據f(x)≤0在（0，+∞）恆成立，導數a≥一個函數恆成立的形式（有的題中可能是小於等於）；
第二步，求出該函數的最大值；
第三步，a大於等於該函數的最大值，就得出該a的範圍。
因為a大於等於該函數的最大值了，所以a大於等於該函數是恆成立的，即滿足了f(x)≤0在（0，+∞）恆成立這一條件。
根據f(x)≤0在（0，+∞）恆成立，則有(1+lnx)/x－a≤0在（0，+∞）恆成立，則有a≥(1+lnx)/x在（0，+∞）恆成立。
設t(x)=(1+lnx)/x，則有一次導數t＇(x)=－lnx/x^2，x>0.
當0<x<1時，lnx<0，則－lnx>0，則一次導數t＇(x)>0，所以此時函數t(x)單調遞增；
當x>1時，lnx>0，則－lnx<0，則一次導數t＇(x)<0，所有此時函數t(x)單調遞減。
所以函數t(x)在區間（0，+∞）上是先增後減函數，則該函數有最大值，即t(x)max=t
綜上所述a≥1，所以a的取值範圍為［1，+∞）。
該證明需要藉助第一問的第一小問來證明，即使我們不知道第一小問給出的已知，這樣的題也是要找到中間的媒介來傳達大於的這種關係，而常見的不等式中就存在着很多不等式的媒介，是需要我們平時積累的內容，詳細可見
上述我們已經求出函數t(x)的最大值1，所以我們得出的結論就是(1+lnx)/x≤1，即lnx≤x－1。
因為這裏的是對任意的n∈N+，當x=1是該不等式lnx≤x－1等號成立，當x>1時，則有lnx<x－1恆成立。
令x=(n+1)/n>1，則有ln［(n+1)/n］<(n+1)/n－1=1/n。
所以1+1/2+1/3+…+1/n>ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln［(n+1)/n］。
因為ln(2/1)+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln［(n+1)/n］=ln［2/1×3/2×4/3×…×(n+1)/n］=ln（n+1）。
所以有1+1/2+1/3+…+1/n>ln（n+1）.
第二問
第二問實際上是求帶字母的方程零點的個數，該等式不管如何變形，它的解是不會變的，所以將該方程變形只是將該方程賦予一個新的幾何意義罷了。
第一步，將字母a單獨表示出來。
因為g(x)=(x－1)^2·e^x，f(x)=(1+lnx)/x－a，且g(x)=f(x)，則有(x－1)^2·e^x=(1+lnx)/x－a。
將上述方程變形得到a=(1+lnx)/x－(x－1)^2·e^x。
設h(x)=(1+lnx)/x－(x－1)^2·e^x，則有a=h(x)。
第二步，求出函數h(x)的最大值和最小值。
因為h(x)=(1+lnx)/x－(x－1)^2·e^x，（x>0），則一次導數h＇(x)=－lnx/x^2－(x^2－1)e^x。
當0<x<1時，－lnx>0，－（x^2－1）>0，則有h＇(x)>0，此時函數h(x)單調遞增；
當x>1時，－lnx<0，－（x^2－1）<0，則有h＇(x)<0，此時函數h(x)單調遞減。
當x趨近0時，h(x)趨近於－∞；
當x趨近正無窮時，函數h(x)趨近於－∞.
根據函數h(x)的單調性和最大值以及最小值，可以畫出該函數的大致圖像，如圖：
第三步，分別説明方程f(x)=g(x)實數根的個數。
當a>1時，方程f(x)=g(x)實數根的個數為0個；
當a=1時，方程f(x)=g(x)實數根的個數為1個；
當a<1時，方程f(x)=g(x)實數根的個數為2個不同的實數解。
總結
函數的綜合題一般結合了恆成立的問題，方程零點問題，數列問題等等。
這些問題一般都有普遍的解題方法，但是也存在個別的特殊情況，但是無論是常見的方法還是特殊的情況的解法都需要大家掌握。
數學雖然要靠不斷的計算和練習來達到孰能生巧，靈活運用各個知識點，但是僅僅靠這些還是不夠的，數學也是需要積累的，積累的不僅僅是一些公式和拓展公式，更要積累些常見的方法和特殊的方法。
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