數學家證明了低維度空間的一些對稱性質不存在
原文作者，Kevin Hartnett，《量子》雜誌高級編輯。
翻譯作者，獨行者，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對：Math001
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羅伯特·齊默(Robert Zimme)先生被人另眼相看了。自2006年擔任芝加哥大學校長開始，他因為獲得九位數字的捐款以及發表很多關於保護校園言論自由的文章而登上各大報紙的頭條。但在擔任芝加哥大學校長之前，齊默先生是一位數學家。在他將學術研究放到一邊很久以後，齊默先生曾經推動的研究終於產出了成果。
2017年，一個三位數學家組成的團隊解決了名為齊默猜想的問題，這個問題主要是研究在某些情形下幾何空間會顯示出某種特定的對稱性。他們的證明是近幾年來最大的數學成就之一。這個問題是齊默在20世紀70年代後期到20世紀80年代前期學術活躍期間提出的，現如今這個問題得到了解決。
齊默説，“我想説的是，在這五年期間，我對這個問題日思夜想，它每一天都在困擾着我。所以，這個問題讓我輾轉反側。現如今，我很高興地看到這個問題得到解決。”
一般而言，我們通常認為幾何空間的維度越多，對稱性特徵也就越多。比如，你可以去比較二維平面上的圓和三維空間中的球：旋轉球的方法就比旋轉圓的方法要多得多。這就是因為球的額外維度使得球有了更多的對稱性。
齊默猜想關注點主要是在某種特定類型的對稱性，這通常被稱之為高階格(higher-rank lattice)。這個猜想關注了以下問題：一個幾何空間的維度是否會限制對這些類型對稱性產生。芝加哥大學的阿倫·布朗教授(Aaron Brown)和賽巴斯提安·烏爾塔多·薩拉查教授(Sebastian Hurtado-Salazar)和印第安納大學的大衞·費希爾教授(David Fisher)的最新研究表明，只要低於某一維度，某些特殊的對稱性就不可能存在。這也就證明了齊默猜想是正確的。
他們的研究解決了一個長期以來困擾數學界的問題，同時也開闢了新的研究方向。它揭示了幾何空間中的內在特性。對稱性是瞭解這些空間最基本的特徵之一。這項新研究可以用比較準確的話來講：這些對稱特徵能存在某一種空間中，但對於其它空間是不存在的。齊默猜想長達數十年間都沒有取得突破，現在解決以後，數學家們便有了新的發現和成就。
在今年年初組織的一場關於新證明的會議上，芝加哥大學數學教授艾米·威爾金森(mie Wilkinson)表示：“這個猜想還能夠讓數學界研究和分析上很長一段時間。他們就這個問題提出了一個較為簡單的方法。”
對稱性的滿足
對稱性是人們從孩提時期的數學中便接觸到的幾何學概念。通過動手分析，孩子們便知道由於對稱性，圖形可以旋轉、翻轉和平移，最後得到的圖形和最開始是一致的。圖形的這種在變化中保持不變的特性滿足了某種內在特點——它揭示了宇宙法則中的某種深刻涵義。
在數學中，數學家們用自己特定的規範性語言來研究對稱性。這種語言為他們提供了非常準確的方法來描述在給定的幾何空間中所有不同的對稱性。
比如説，正方形有八個對稱變換——也就是説有八種方法可以將正方形翻轉、旋轉成原來的圖形。而對於圓來説，圓按任意角度旋轉之後仍然是圓；它有無數個對稱變換。數學家把特定幾何對象或空間所具有的對稱性全部歸類在一起，稱之為“羣”。
羣原本就是非常有價值的研究對象。羣通常會出現在特定幾何空間的研究中，但是他們也會出現在非幾何領域中。比如，數的集合也可以組成羣。（比如説：考慮如下的對稱性,例如給一個數 5或-5。）
齊默説：“理論上，各類事物的對稱性都可以用羣來表達。”
現在我們討論的對稱性和我們在小學時所學到的相差甚遠。比如，參考格的對稱性。最簡單的格就是一個二維網格。在平面上，你可以將這塊網格往上、下、左、右的方向平移任意方塊的距離， 然後得到一個它完全一樣大小的網格。你還可以對網格內任何單獨的正方形進行對稱變換。這種有類似格的空間，一般而言會有無窮個多種多樣的對稱變換。
這種可以存在任何維度的空間裏。在三維空間裏，格就是一個個正方體，而不是正方形。在四維或更高維度的空間裏，我們就無法畫出這種格了，但是性質是一樣的。數學家可以用自己的語言進行準確描述。齊默猜想的關注對象主要就是這些特定維度的。“如果你可以看到這些網格，這些奇怪的格會特別美麗。儘管我看不到。”烏爾塔多-薩拉查教授説，“我猜想如果它們能展現在我們眼前，他們的形狀一定特別好看。”
早在二十世紀，數學家們便在許多的領域中發現對稱性質，不僅在幾何學，還有數論領域，邏輯學和計算機科學。當新的一個新羣被發現以後，我們就自然而然地會問到——一個怎樣的空間會對應這個羣描述的對稱？
有時候是非常明顯的，一些羣不能應用到特定的空間中去。比如，我們就很快知道圓的對稱羣不能應用到正方形中。就比如説，如果將正方形旋轉10°，你就不能得到原來的那個正方形了。但是如果在一個有無數個對稱軸的羣中和一個有多重維度的空間裏進行研究，我們很難確定哪些羣的元素對應着空間的變換，而哪一些則不是。
齊默説：“由於在高維度的情況下，你由此得到的羣會愈發複雜，問題的解決也就變得更加困難。”
鬆散的聯繫
當我們分析對稱性的時候，我們所想象到的是，整個圖形正在進行旋轉，就像一個正方形按順時針方向轉90°。在一個比較微觀的層級中去觀察，對稱性與點的運動有密切的聯繫。按對稱性將空間進行變換意味着將空間上的每一個點移動到空間的另外一處。在這種視角下，將正方形順時針旋轉90°的真正意義是：考慮正方形上的每一個點，然後將它順時針旋轉90°，這樣每個點就移動到了新的邊上，這些點最終出現在與初始位置不同的邊上。
或多或少的，我們都是用剛性的方式來進行移動。最熟悉的一些對稱操作——通過對角線進行鏡面變換，或者旋轉90°——都非常剛性的。他們之所以剛性的是因為他們並沒有對點進行扭曲。鏡面變換前在頂角上的點在變換以後還是頂角上的點（只不過是不同的頂角），鏡面變換前在邊上的點在變換以後還是邊上的點（只不過是不同的邊上）。
但是，在實際上，還有很多更為靈活的對稱變換類型，這也是齊默猜想所感興趣的地方。在這些變換中，點會被最大限度的重組；他們在變換的過程當中不會完全遵循他們在變換前的位置關係。例如你可以將正方形的每一個點都圍繞着移動三個單位——這還是滿足了一個對稱變換的基本要求，它將空間上的每一個點都移動到了新的位置。新證明的合作者艾倫·布朗藉助球的模型來解釋這種不受約束的變換方式。
布朗稱：“你可以試着將球的南北兩極向相反方向拉扯，球上的距離和點之間的距離會加大。”
當你在討論一個網格時，除了平移平面中的網格，你還可以對網格進行扭曲，或者在某些地方進行扭曲，而在其他地方進行拉伸，這就使得轉換後的網格不再與原來的網格完全重合。這些變換就沒有那麼剛性了，他們被稱之為微分同胚。
在他的猜想當中，齊默有非常好的理由認為這種更為柔性的變換是有意義的。在20世紀60年代，格里戈裏·馬爾古利斯(Grigory Margulis)對在齊默的猜想當中涉及的這種高維格進行了研究。馬爾古利斯也因為這項工作由此獲得了菲爾茲獎。當要求只進行剛性的變換時，哪些空間可以由這些高維格轉換而來，馬爾古利斯給出了這種空間所有滿足的條件。
因此，齊默猜想是對馬爾古利斯研究的自然延伸。他便是開始於高維格架構變換得以實現的空間——馬爾古利斯所找到的空間——並持續深入探討如果允許不那麼剛性的變換，也就是在放寬變換的條件之後，這個集合是否會進一步擴張。
在他們新的研究當中，三位數學家們證明了當高維格的放寬對對稱性的定義以後，廣義的對稱性特徵並沒有本質變化。即使格進行不規則的空間變換時——比如剪切、彎曲、拉伸——高維格仍然被限制在它們所在的空間中。
費希爾説：“由於在這個問題上加了那麼多的靈活性之後，你就有了一種直觀的感受，這些高維格羣能作用於任何空間上。所以，我們很驚訝的發現，答案是不對的。在某種情況下，他們不能作用於任何空間上。”
這幾位數學家們在空間的維度和能作用在其上的高維格維度（或秩）之間建立了聯繫。他們證明了在通常情況下格的維度越高，空間的維度也應該越高，這樣才能對格的對稱性產生作用。在高維空間裏，即使有非常好的空間變換靈活性，高維格的變換依舊受到高維空間的限制。
威爾金森説：“這就告訴了我們，空間將物體組合在一起會有一些非常基礎的特性，這種特性使得他們能夠產生這些變換。”
齊默猜想只是解決一個大問題的第一步。通過解決這個猜想，這個問題的研究者們對這些高維格能做用的空間給出了一個粗略的限制條件。下一步是更加宏偉的計劃，研究者將關注在這些空間中格是如何出現的，接着將這些格在空間中變換的方法進行分類。
齊默説：“這項計劃最後是要分清楚所有這些方法。在你目前所看到的問題之外還有更有趣的，有一些空間中，格是不能保持對稱性的。但有趣的問題則遠遠超出了這些內容。”
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