四年一次，“數學界的諾貝爾獎”這次頒給了誰？
本文來自微信公眾號：原理（ID：principia1687），作者：原原，題圖來自：視覺中國，原文標題：《四年一次，數學最高獎公佈》
菲爾茲獎是數學領域的最高獎之一，常被稱作為數學界的諾貝爾獎，每四年頒發一次。剛剛，2022年度的菲爾茲獎公佈，授予4位對數學領域做出傑出貢獻的年輕數學家（年齡在40歲以下）。
（圖／IHES）
雨果·迪米尼-科潘改變了統計物理學中與相變有關的數學理論，他解決了幾個長期存在的開放性問題，尤其是在三維和四維以及在二維的不可積的情況下。他的工作開闢了幾個新的研究方向。在這裏我們只列舉他在這一領域的眾多成果中的一小部分。
迪米尼-科潘的最顯著的成果是三維和四維的伊辛型模型。他與合作者一起建立了三維相變的連續性和鋭度，這些都是自80年代起就一直懸而未決的問題。在四維空間，他與艾森曼（Aizenman）一同證明了伊辛模型的平均場臨界行為，並證明了四維歐幾里得標量量子場論的平凡性，這是一個自70年代以來就困擾物理學家的開放性猜想。
同樣，在二維相關的福圖因-卡斯特林滲流中，迪米尼-科潘與合作者一起證明了所有參數值變化的連續性或不連續性，以及在等角點輻射線圖上的臨界福圖因-卡斯特林模型的普適性。此外，通過證明臨界福圖因-卡斯特林模型的大尺度旋轉不變性，他朝着建立它們的大尺度共形不變性邁出了重要一步，這反過來又能為將它們嚴格與二維共形場論的世界相連提供重要的缺失部分。
（圖／Princeton University）
利用霍奇理論、熱帶幾何和奇點理論的方法，許埈珥和他的合作者改變了幾何組合學領域。許埈珥和王博潼利用代數幾何和相交理論的工具，證明了可實現擬陣的道林-威爾遜猜想。
卡里姆·阿迪普拉斯托（Karim Adiprasito）、許埈珥和埃裏克·卡茨（Eric Katz）發現了霍奇理論的組合學類似，並證明了萊夫謝茨定理和任意擬陣的霍奇-黎曼關係。他們利用這些結果解決了關於擬陣的特徵多項式的對數凹性的赫倫-羅塔-韋爾什猜想。
彼得·布蘭登（Petter Brändén）和許埈珥發展了洛倫茲多項式的理論，通過熱帶幾何連接了連續的和離散的凸分析。他們證明了擬陣的強梅森猜想，並發現了從射影代數幾何到統計力學中的波茨模型等一系列不同數學領域中的應用。
（圖／Academia Europaea）
詹姆斯·梅納德在解析數論方面做出了驚人的貢獻。他常常在那些看似無法用現有技術做到的重要問題上，帶來驚人的突破。
數論中的一些最著名問題與素數的分佈有關。雖説素數的大尺度分佈是由素數定理支配的（或更準確地説，是由黎曼猜想推測的），但許多自然問題是在稀疏尺度上處理的。在這類問題上，梅納德取得了許多顯著的成果。
例如，他證明了當素數序列變得越來越稀疏時，就會存在無限個大小為任意固定值m的“素數簇”，每個“素數簇”都包含在一個（與m有關的）有界區間內，這是對著名的當m=2時的結果的顯著改進。梅納德的方法既優雅又有力，它以一種令人驚訝的方式推動了篩法理論的邊界。梅納德在一個看似相反的方向上繼續證明，有時素數比平均稀疏得多，這是在幾十年裏都沒有任何質的進展的埃爾德什問題。
梅納德在丟番圖逼近方面也做了基礎性的工作，他與庫庫洛普洛斯（Koukoulopoulos）解決了杜芬-謝弗猜想。這個猜想於1941年提出，被認為是對描述了一個典型的實數如何被有理數逼近的辛欽定理的終極推廣。
（圖／EPFL）
數學中一個長期存在的問題是找到能夠在給定維度中，填裝相同球體的最稠密的方式。人們已經知道，圓的六邊形填裝是二維空間中最稠密的。1998年，黑爾斯（Thomas Callister Hales）用計算機輔助證明了開普勒猜想，即面心立方格的填裝是三維空間中最稠密的。
其他任何維度上的最稠密填裝一直處於未知狀態，直到2016年，維亞佐夫斯卡證明了E₈格在8維空間中具有最稠密的填裝。不久後，她與科恩（Cohn）、庫馬爾（Kumar）、米勒（Miller）和拉德琴科（Radchenko）一起，證明了利奇格在24維空間中具有最稠密填裝。
維亞佐夫斯卡的方法是建立在科恩和埃爾基斯（Elkies）的工作基礎之上的，他們利用泊松求和公式給出了任意維度上球體填裝的可能密度的上界。他們的工作表明，在8維和24維空間中，可能存在一個具有非常特殊的性質的徑向施瓦茲函數，它能給出一個與已知格填裝的下界相等的上界。維亞佐夫斯卡基於模形式理論發明了一種全新的產生這樣的函數的方法。
維亞佐夫斯卡在其他方向發展了這些想法。她和拉德琴科一起證明了一個意想不到的結果，即任何其自身及其傅里葉變換會在每個非負整數的平方根處消失的偶施瓦茲函數，一定等於零。事實上，他們證明了對某些特殊函數an和bn來説，任意偶施瓦茲函數都可以被寫成：
與科恩、庫馬爾、米勒和拉德琴科一起，她證明了E₈和利奇格不僅在8維和24維給出最優的球體填裝，並且還最小化了每個在平方距離上完全單調的勢函數的能量。
參考來源：https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal
本文來自微信公眾號：原理（ID：principia1687），作者：原原