求圓心在原點上與直線3x+4y-1=0相切的圓的方程

主要內容：

本文通過解析幾何、二次函數法和導數知識，介紹求圓心在原點上與直線3x+4y-1=0相切的圓方程的主要過程和步驟。

思路:解析幾何

圓與直線相切，則圓心到直線的距離為所求圓的半徑。

設圓方程為x^2+y^2=r^2,圓心O為(0,0)

圓心到直線的距離d為：

d=|3*0+4*0-1|/√(3^2+4^2)=1/5=r,

則所求圓的方程為：x^2+y^2=(1/5)^2=1/25.

思路：二次函數法

圓與直線聯立的方程只有1個交點，即判別式為0.

設圓方程為x^2+y^2=r^2,

將y=(1-3x)/4代入圓的方程得：

x^2+(1-3x)^2/4^2=r^2

16x^2+(1-3x)^2=4^2r^2

(3^2+4^2)x^2-6x+1^2-4^2r^2=0

判別式△=4*3^2-4*5^2*(1^2-4^2r^2)=0,

解出r^2=1^2/5^2=1/25,

所以圓的方程為：

x^2+y^2=1/25。

思路:導數幾何意義

導數的幾何意義就是曲線上點的切線的斜率。

設圓方程為x^2+y^2=r^2,圓心O為(0,0)，切點為A(x1,y1).

對圓方程求導得：

2x+2yy'=0，即y'=-x/y.

對於切線有：y=-13/4*(3x-1),其斜率k=-3/4.

根據導數的幾何意義有：-3/4=-x1/y1,

即：x1=3/4*y1,代入切線方程得：

9/4*y1+4y1-1=0,可求出:

y1=4/(3^2+4^2)=4/25,

x1=3/(3^2+4^2)=3/25,

切線在圓上，則：

(4/25)^2+(3/25)^2=r^2,

即：r^2=1/25.

所以所求圓的方程為：

x^2+y^2=1/25。