作者：NAG-duelistys
作為從S1就開始玩的雲頂老玩家，在NGA也看了不少攻略，NGA的陣容也被我從拉麪熊偷到明晝射，受益匪淺，總想着什麼時候也能把自己的一些心得分享給NGA老哥們(笑)。恰逢S5來臨，便整合了一些抽牌概率的數據，也自己計算了不同等級的抽牌期望，希望能在數學的角度上幫助大家更好地理解雲頂這個遊戲，畢竟有概率的地方就有數學。
(注：以下數據除單卡數量來自於雲頂之弈主題站，其餘均為樓主從遊戲中抄錄或計算)
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1、首先我們來看一下各等級對於不同費用卡片的刷新概率及各費用單卡種類及數量：
以上數據作為計算基礎，那麼讓我們來明確幾個概念，以免對於一些數學知識不瞭解的同學產生理解上的障礙：
期望：期望指的是一次試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，放在本貼裏就是要抽一張指定牌的平均金幣花費，當試驗次數趨近於無窮時，平均金幣花費將無限接近於期望值。
方差：雖然期望能反映抽牌需要的金幣數量，但是期望還受到一個值的約束，即方差，方差代表着概率的離散程度，方差越大，實際花費偏離期望值的可能性越大。
那麼在計算之前，樓主還想説幾句，期望值和方差都只是作為一個參考，畢竟雲頂運氣遊戲，概率即使再小也是有可能出現的，連行竊徵兆5分鐘全是5塊錢都出現在S賽上了不是嗎？所以本貼的目的是幫助兄弟們加深理解，並不是給出在遊戲裏絕對正確的數值。
2、在理想情況下的各等級抽牌期望表
理想情況是指沒有任何人從卡池裏拿牌，卡池裏所有棋子的數量均處於初始值，理想情況是實戰中的一個參考，能初步反映各棋子的花費差距，想要看實戰分析的同學可以直接跳到第三點。
表格內數據代表抽第x張指定的某費牌所需要的金幣期望，如1費牌與5級所對應的格子內的數據就代表在5級抽第一張指定1費牌的金幣期望為11，第二張的期望為11，第三張為13，直到第九張的金幣期望為15。
理想情況下的抽牌期望表可以幫助我們預測我們要抽的牌需要的金幣期望數，以5級追1費卡三星為例，許多人喜歡卡五十塊每回合慢慢D，但是從期望表可以看出，在已有6張指定1費牌的情況下繼續追第7張指定1費牌的金幣期望數為15，也就是説一回合基礎金幣為10塊的情況下可能攢兩回合或三回合再D可能會更符合期望，次數越多結果會與期望數越接近，當然，歐皇D就完事了。
同理，在7級的情況下想要抽到一張指定4費卡來補充戰力，最好保證你有32+塊金幣，8級想要D出2星4費，血量允許的情況下最好能有40塊來D。
且在計算單張牌出現指定牌的概率情況下，可以把抽牌看作二項分佈，所有牌通過公式計算的方差處於0.5-1.5之間，也就是説花了同樣的錢上下波動1-2張都是可以理解的現象哦。
3、實戰分析
然而，抽牌期望表畢竟是在理想情況下計算的，在實戰中還存在其餘對手拿牌來削減卡池，或是被別人卡牌的情況，這時候想要計算出D牌的金幣期望，就需要具體情況具體分析，以下樓主思考了幾種情況下的假設：
1)追三星1費卡的幾種情況：
在4級已白P到6張卡的情況：這時我們可以假定場上的玩家大量處於5級，少量處於4級，家可能每人持有6-9張一費卡，假定平均值為7.5，此時抽取第7/8/9張所需1費牌的金幣期望為9/11/11，想要抽出3星1費的期望為31塊；若在5級D，此時隨着戰力提高假定玩家平均持有1費卡數為6，抽取第7/8/9張所需1費牌的金幣期望為11/13/13，金幣總期望為39。
可以看到期望的差距總體體現在第九張牌，玩家可以根據自己的情況酌情考慮，如果在4級時還差太多的牌，推薦在5級D，如果只差1-3張，那4級和5級的金幣期望差距在4-8塊，這在前期還是比較多的錢，更何況越早D出保持連勝的機會越大，追回50塊的時間也越早。
已有6張後5級卡50塊D的情況：這時場上玩家基本處於5級中後期或6級，持有的1費卡數量進一步減少，假設平均為6，此時抽取第7/8/9張所需1費牌的金幣期望為11/13/13，總金幣期望為37，則推薦至少攢兩回合來D一次抽出的機會更大。
畢竟即使運氣比較好抽出1張來也是無法立刻提升戰力的，當然，在血量不健康的情況下還是能早D就早D，具體情況具體分析。
2)7級白P兩張指定4費卡的情況下要不要抽出2星：此時假定場上玩家人均持有2張4費卡，抽出第三張指定4費卡的金幣期望為34塊，若攢到8級來D，此時假定場上玩家人均持有4張4費卡，金幣期望為18塊，差值為16塊。
這時就可根據升級經驗需要的金幣數、自身血量及場上同棋子數量酌情考慮。因為在S5版本提高了7級8級4費卡的刷新率，所以7級兩星4費的概率大大提高，如果已有兩張的情況下直接D可能直接打一波連勝且不會消耗太多金幣。
3)尼寇之力的價值，在不追3星5費的情況下我們可以通過期望來判斷尼寇之力的價值，在7級捏5費卡的價值為300+金幣，如果已經有兩張不用猶豫直接捏，隨後是8級捏五費卡，也有接近100的價值，而且因為4費卡概率提升的原因。
在算上卡池削減的情況下，捏第九張4費的價值和捏第三張5費的價值也相差不大，至於5級捏第九張1費卡則是完全不推薦，從期望上來説他只值20塊左右。同理，期望也可以用來判斷選秀階段要不要牽五費卡，請結合期望表和自身金幣酌情判斷。
4、總結
雖然在實戰還是要看運氣，是歐是非完全兩個遊戲，但是期望的參考價值是我們不可忽視的，可以幫助玩家更好地抉擇自己的經濟策略，但也不可太過相信期望，要結合實際對局具體分析。且因為實戰情況複雜多變，在實戰分析上只是舉出幾個例子，沒有覆蓋特別多的場景。如果大家對於某些特定場景想要知道抽卡期望，可以在下方留言，我會幫大家計算的。
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補充：
以上概率採取二項分佈的方式計算，E=|(100×(M*m-n))/(x*y)÷5|×2 + z
其中||為向下取整；
M*m為該費卡在卡池中總數量，M為該費卡的種類，m為單張卡數量，如一費卡即為13*29；
n為場上已有的該費卡數量；
x為當前等級下該費卡的刷新率，如5級下抽取一費卡，x=45;
z為購買該張卡的費用。
如二樓所説，二項分佈的缺點是隻有在抽取趨近無限的情況下結果才會處於穩定的值，有限次的抽卡的偏差可能會較大，樓主在主樓裏的計算方差為每張卡都在0.5-1.5之間。
為進一步縮小誤差，因此，以下再給出超幾何分佈的計算公式：
根據抽取單張卡的數量來計算需要抽取的牌數的期望
超幾何分佈記作X~H(n,M,N)
其中，N為在該費卡的卡池總數，如理想情況下一費卡N=13*29；
M為指定牌的數量，如VN這張牌的M=29；
N為抽取次數，即需要抽取的該費牌數量；
通過逐張抽取指定牌的方式可以看出抽出第x張指定牌的期望，所以這裏假定E(牌)=1；
則n = N/M
所需金幣期望為E = | n/(5*p)|×2 + z
||為向下取整;
p為當前等級下該費卡的刷新率；
z為購買該張卡的費用。
超幾何分佈的二項分佈的關係就在於在抽取趨近無限的情況下超幾何分佈的期望無限趨近於二項分佈，有限次的情況下相對來説超幾何分佈更準確一些。
等我什麼時候有空的時候再來更新下理想情況下的超幾何分佈表和實戰分析，再次特別感謝大佬的建議^^。
