17歲高中生解開困擾數學家27年難題，因張益唐「入坑」數論

只因在電視上多看了一眼數學家張益唐的紀錄片，中學生開始沉迷數論，還獨立發表了一篇“博士級別”數學論文。

解決的數學問題，還是曾難住3位正經數學家整整27年的那種。

當這3位數學家中的卡爾·波梅蘭斯（Carl Pomerance）本人，看到這篇出自17歲少年之手的論文時，也不禁感慨：

△圖源：Quantamagazine

少年名叫丹尼爾·拉森（Daniel Larsen）。

就在今年，他這篇有關卡邁克爾數的論文，已經正式發表在《國際數學研究通告》上，還為他贏得了10萬美元（約合人民幣72萬元）獎學金。

他本人也告別高中生活，成為了麻省理工學院數學專業的大一新生。

事實上，丹尼爾本人在家鄉早已是小有名氣的“神童”：

一家子都是數學家，他本人13歲就在《紐約時報》上發表過填字遊戲，是這個項目史上最年輕作者。

看上去一路順風順水，但在與外界交流時，他卻説，自己做啥都“像是在掙扎”。

還自曝：喜歡走捷徑。

因張益唐“入坑”數論，屢挫屢戰

正如開頭所説，丹尼爾和數論的緣分，始於一部有關張益唐的紀錄片。

張益唐是傳奇美籍華裔數學家，因“孿生素數猜想”一舉成名。但在功成名就之前，張益唐的經歷可謂半生潦倒：

博士畢業後因未拿到導師推薦信，學術道路坎坷，甚至不得不靠快餐店收銀員等工作餬口。

但即便如此，張益唐也並未放棄對數論的鑽研，直到58歲終於大器晚成。

△張益唐，圖源：北京大學招生網

或許正是這種對數論的執着觸動了丹尼爾。他開始抑制不住地在腦海中不斷思考數論。

一開始，他同樣把目光瞄向了“孿生素數猜想”：張益唐的成果首次證明了存在無窮多對間隔有限的質數，但他證明的間隔是7000萬，這個數字仍可以進一步縮小。

陶哲軒和今年的新晉菲爾茲獎得主詹姆斯·梅納德，就都做過這方面的工作。

雖然只是一名中學生，丹尼爾還是試圖通過閲讀張益唐、陶哲軒和梅納德在這一問題上發表的論文，搞清楚背後的數學原理。

但最終他不得不承認：

儘管如此，丹尼爾並沒有被當場勸退。相反，他一頭扎進了數論論文的海洋，堅持尋找能激發他靈感的那一個“巨人的肩膀”。

終於在2021年2月，17歲的丹尼爾·拉森和卡邁克爾數邂逅了。

△圖源：THE SOCIETY FOR SCIENCE

300小時攻克數論難題

卡邁克爾數的定義是：

一個正合數n，對於所有跟n互質的整數b，b^n-b都是n的倍數，那麼n就是一個卡邁克爾數。

根據費馬小定理，所有質數都具備這種特質，因此卡邁克爾數又被稱為“偽質數”。

在1899年，數學家Alwin Korselt還提出了一種卡邁克爾數的等效定義，當正合數n滿足以下三個性質時：

1. 必須包含不止一個質因數；
2. 質因數均不重複；
3. 對於每一個能被n整除的質數p，p-1也可以被n-1整除

它就是一個卡邁克爾數。

舉個例子，最小的卡邁克爾數是561，561=3×11×17，而2、10和16均能被560整除。

1994年，雷德·阿爾福德（Red Alford）、安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville），以及前文提到的卡爾·波梅蘭斯三位數學家，在《數學年刊》上發表論文，證明了卡邁克爾數有無窮多個。

但當他們試圖證明這無窮多個卡邁克爾數之間的間隔時，新的困難出現了。

三位數學家認為，這個問題可以轉化為這樣一種證明：給定一個足夠大的數字X，在X和2X之間一定存在一個卡邁克爾數。

遺憾的是，從1994年到2021年的27年之間，並沒有人完成這個證明。

難度可想而知。因此當丹尼爾的爸爸——印第安納大學路明頓分校數學教授邁克爾·拉森（Michael Larsen）得知兒子想要攻克這個問題時，他的第一反應是“這可能會變成一段負面經歷”。

但丹尼爾的反應卻是：

於是，他堅定地投身其中。並且在約300個小時（12.5天）的努力之後，他的論文出爐了。

前面説到，一開始接觸數論，丹尼爾就研究過陶哲軒和梅納德的論文。而在這個有關卡邁克爾數的證明上，他巧妙地站在了前輩的肩膀上。

他修改了梅納德在證明孿生素數間隔時的用到的方法，將之與阿爾福德、格蘭維爾和波梅蘭斯的方法相結合。如此一來，就能夠確保他最終得到足以產生卡邁克爾數的素數區間。

實際上，這篇論文不僅證明了卡邁克爾數一定會出現在X和2X之間，其證明方法還適用於更小的間隔。

另一位致力於偽質數研究的數學家、沃福德學院的Thomas Wright就表示，“這篇論文改變了研究卡邁克爾數的許多事情”。

值得一提的是，卡邁克爾數與密碼學和通信安全息息相關。

最典型的非對稱加密算法RSA中，生成公鑰的第一步就是選取一對很大的隨機質數。

而當數字比較大時，想要判斷其是否為質數就很麻煩，也很容易與其它數字混淆。這時候，卡邁克爾數的相關研究就能派上用場了。

出身數學世家

如果説與數論的機緣是從張益唐的紀錄片開始，那麼丹尼爾與數學的緣分在他更小的時候就已經顯現。

這與他的家庭氛圍息息相關。

丹尼爾出身數學世家，父母都是印第安納大學的數學教授，他在濃厚的數學氛圍下長大。

他的父親邁克爾·拉森是1977的IMO（國際數學奧林匹克競賽）金牌得主，本科畢業於哈佛大學，後於普林斯頓大學取得博士學位。

2013年，邁克爾·拉森因“對羣論、數論、拓撲學和代數幾何的貢獻”而成為美國數學會會員。

△圖源：印第安納大學

丹尼爾4歲的時候，父親組織了一個“數學圈”，週六下午為當地孩子開設免費小組，談論一些能讓孩子們對數學產生興趣的古怪話題，丹尼爾也參與其中。

在這樣的培養之下，丹尼爾從小就對解謎感興趣，並且雖然不太喜歡打遊戲，但卻很喜歡鼓搗電腦，去鑽研遊戲背後的工作機制。

12歲時，丹尼爾就寫出了填字遊戲生成軟件，並且13歲就在《紐約時報》發表了自己的作品，到現在還保持着“最年輕作者”的記錄。

△右一丹尼爾，圖源：indianapolismonthly

實際上，在丹尼爾研究卡邁克爾數時，他的父親就是他的第一任導師。

雖然父親並不對兒子搞定這麼難的數學問題抱太大希望，但他還是給予了兒子情感上的支持，並且以對待博士生的態度來指導兒子。

值得一提的是，丹尼爾的姐姐安妮也是“數學神童”，她在高中時就已經開始學習印第安納大學研究生水平的數學課程。現在，安妮正在MIT攻讀數學博士學位。

從小在數學的薰陶下長大，丹尼爾自己也逐漸形成了對數學的一套理解。

他認為現如今互聯網時代削弱了人們的社區意識以及共同目標，人們與外界的聯繫越來越少，這形成一個“元問題”，阻礙了其他問題的解決。

而丹尼爾將這視作數學的另外一面，稱數學可以建立共識，它充滿了和諧與統一。他還説：“上帝是個數學家。”

偶爾躺平的“小數學家”

數學之外，丹尼爾可謂興趣廣泛，小提琴、鋼琴、魔方、國際象棋等均有涉獵。

△圖源：Quantamagazine

他小時候就能夠45秒內解出一個魔方，並且還設計了一個樂高機器人，可以把銅便士和鋅便士分開。

不過“少年天才”的光環之外，丹尼爾也像其他年輕人一樣，喜歡偶爾躺平，喜歡走“捷徑”。

就比如説，丹尼爾不太喜歡夏天，一到夏天，他的心情就開始低落，即使在研究卡邁克爾數也會這樣，那時他暫時“撂下挑子”，去看了夏季奧運會。

甚至還自述有過這種情況：

並且當被問到“不擅長什麼時”，丹尼爾表示自己“做什麼都像是在掙扎”。

目前，丹尼爾已經步入了麻省理工的校園，他同樣面臨着和大多數人一樣的迷茫，不確定下一步要解決什麼：

— 完 —

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