這是一道關於圓的經典題，第三問難度很大，屬於試卷中的拉分題
各位朋友，大家好！數學世界今天將繼續為大家分享初中數學中比較有代表性的解答題，筆者希望通過對習題的分析與講解，能夠為廣大初中生學習數學提供一些幫助！接下來，數學世界分享一道利用數形結合構建方程解決問題的綜合題，涉及了切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質，切割線定理，圓的對稱性等知識。
一直以來，數學世界都是精心挑選一些數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB於點E，交⊙O於C、D兩點，F是弧BD上一點，過點F作一條直線，交CD的延長線於點G，交AB的延長線於點M．連結AF，交CD於點H，且GF=GH．
（1）求證：MG是⊙O的切線；
（2）若弧AF=弧CF，求證：HC=AC；
（3）在（2）的條件下，若tan∠G=3/4，AE=6，求GM的值．
切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切割線定理的推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。
分析：（1）證明切線必定要連半徑，連接OF．利用角之間的等量代換得出直角，證明OF⊥GM即可．
（2）由圓的對稱性可知，OF為對稱軸，由垂直可以證明AC∥GM，再推出∠CAH=∠CHA即可．
（3）通過tan∠G=3/4，AE=6，解直角三角形求出EC，AC，再設GF=GH=x，推出CG=CH+GH=AC+GH=10+x，利用切割線定理構建方程求出x，在Rt△EGM中，求出EG和EM，即可解決問題．這一問的難度比較大，大多數學生可能做不出來.
請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！
解答：（以下過程可以部分調整，並且還有其他解題方法）
（1）證明：連接OF．
∴AB⊥CD，
∴∠AEH=90°，
∴∠EAH+∠AHE=90°，
∵GF=GH，
∴∠GFH=∠GHF=∠AHE，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠OFG=∠OFA+∠GFH=90°，
∴OF⊥GM，
∴MG是⊙O的切線．
（由圓的對稱性可知，OF為對稱軸）
∴OF垂直平分線段AC，即OF⊥AC，
∵OF⊥MG，
∴AC∥GM，
∴∠CAH=∠GFH，
∵∠CHA=∠GHF，∠HFG=∠GHF，
∴∠CAH=∠CHA，
∴CA=CH．
（3）解：∵AC∥GM，
∴∠G=∠ACE，
∴tan∠ACE=AE/EC=tan∠G=3/4，
∵AE=6，
∴EC=8，AC=10，
設GF=GH=x，
則CG=CH+GH=AC+GH=10+x，
∵CD⊥AB於點E，
∴CD=2EC=16，
∴GD=10+x-16=x-6，
∵GF^2=GD·GC，
（運用切割線定理或者利用相似證明）
∴x^2=（x-6）（x+10），
解得x=15，
∴EG=CG-CE=25-8=17，
∵tan∠G=EM/EG=3/4，
∴EM=51/4，
∵在Rt△EGM中，EG=17，EM=51/4，
（計算格式不好寫出，此處省略掉）
∴GM=85/4.
（完畢）
這道題屬於圓的綜合題，考查了切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的判定和性質，切割線定理等知識，解題的關鍵是利用參數構建方程解決問題。温馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。