為什麼魔方在轉動一個角塊後無法復原?我來舉一個例子：
假設學校食堂裏有這幾樣可以選擇：米飯 1 元，青菜 2 元，麪條 3 元，排骨 4 元。
小明的飯卡里還剩 13.5 元。顯然，小明無論在食堂裏怎麼買東西吃，都不可能把飯卡里的錢剛好花完。
這是為什麼呢?這是因為價格最低的也有1 元，所以花銷總和必為整數元，所以小明飯卡里永遠會多 5 角。
在這裏，『支出 1 元』屬於食堂消費的『原子操作』。原子操作不能再分割，而小明飯卡里的錢數不是原子操作所改變錢數的倍數，所以他的錢不能剛好花完。
魔方的原子操作是什麼?是把一個面旋轉 90°。每次原子操作中，牽涉到的四個角塊的旋轉度數和是 360 的倍數，所以無論怎麼轉動魔方，角塊一定都是在復原狀態的基礎上轉動了 360° 的整數倍。
而把一個角塊旋轉 120° 或 240° 自然就會使得魔方無法還原。
我在這裏簡單地説一種證明方法，也就是 @陳霜在回答中給的網址裏的那一種：
首先我們要弄清楚角塊的方向如何定義。因為每個角塊雖然會出現 8 個位置，但是隻有 3 種方向。那麼我們怎麼建立一個移動的座標來研究這 3 種方向的變換呢?不妨讓視線穿過角塊的頂點和魔方的中心，這個時候角塊的三條邊呈現 Y 字形，我把視線所在的直線叫做“旋轉軸”。
把一個復原好的魔方以確定的方向擺在自己面前(在這裏我就以白色在上，黃色在下舉例了)，任意做一個原子操作，然後看一看總共需要把牽涉進原子操作中的四個角塊繞着旋轉軸順時針旋轉多少度才能使得白色黃色面全部回到上面或下面。答案一定是 360 的倍數。
舉個例子，比如我做一個 R 的操作：
原來的 FUR 塊變成了 UBR 塊，需要繞着旋轉軸順時針旋轉 240°才能使白色面回到上面;
原來的 UBR 塊變成了 BDR 塊，需要繞着旋轉軸順時針旋轉 120°才能使白色面回到下面;
原來的 BDR 塊變成了 DFR 塊，需要繞着旋轉軸順時針旋轉 240°才能使黃色面回到下面;
原來的 DFR 塊變成了 FUR 塊，需要繞着旋轉軸順時針旋轉 120°才能使黃色面回到上面。
(我來解釋一下這些字母什麼意思。F=Front, B=Behind, L=Left, R=Right, U=Up, D=Down，R 的操作就是指把魔方的右邊順時針旋轉 90°，而每個角塊可以用其所在的三個面來表示，比如 FUR 塊就是指在前右上角的那個角塊。)
總共是 240°+120°+240°+120°=720°。由於這是原子操作，所以我們不管怎麼旋轉魔方，所有角塊的角度變化之和應該是 360° 的倍數，不可能出現一個角塊單獨轉 120° 或 240° 的情況。
我們可以用原子操作的思想來證明魔方不能單獨翻轉一個稜塊，也不能單獨交換兩個同類塊。具體的方法可以看 @陳霜給出的網址魔方小站魔方總變化數的道理。
當然，原子操作的思想還可以用來證明許多東西，比如交換了 14 和 15 之後的 16 格拼圖不能復原等等。
那麼就這樣=w=