楠木軒

近期模擬卷中整理出的九個還不錯的題目

由 諸葛寒香 發佈於 經典

分析:類似於太原二模中的題目,若通過餘弦定理求出C的最大值,前提需要知道其中一條邊和另外兩條邊的轉化關係,題目中給出已知的c邊,若根據條件可求出另外一條邊長,則可用函數的思想求出C的最大值,題目中給出的數量積中出現了外心,只需找出AC上的中點,將向量BO轉化為向量BA和BC即可,這也是外心的常用處理方法。

分析:最近看到幾個挺不錯的切接球問題,在本題目中稜長在球體內部,則球至少是錐體的外接球,可根據球心到截面圓心的距離進一步判斷,但無論是不是外接球,四個面與球體的截面均為以四個面的中心為圓心的圓,因此可求得球心到截面圓的距離,即為圖示上的OG和OF長度,求正四面體體積只需求出稜長即可,根據相似三角形即可求出稜長。

除了這個題目之外,最近還看到一個題目,即在正四面體中與六條稜均相切的球,此時球體的直徑即為對稜的距離,看來出題有不滿足於常規的外接和內切的趨勢了。

分析:抽象導函數不等式問題近些年來不常見,題目很有意思,很明顯構造函數g(x)=e^x·f(x),等式中存在f(x+2)和f(-x),分別用g(x)替換下來整理可知g(x)關於x=1對稱,還可知其單調性,選項就很容易判定了。
分析:題目沒什麼難度,題目中的未知數也是對稱的,直接計算即可。
分析:這是最近學生問的一個題目,求AB和MN長度的比值時標準答案上直接用A,B,M的座標表示出兩線段的比值,很容易誤認為是根據相似得來的,因為AB和MN垂直,斜率乘積為-1,各自用弦長公式表示出線段長度,若分別採用|y-y|和|x-x|的形式寫出後前面的根號可以直接約去,所以就成了縱座標的差比上橫座標的差,以後可直接拿來用,其實本題目常規求弦長和利用座標之比複雜程度差不多。
分析:第二問是一個很怪異的題目,不等式中有三處x+1,直接換元后不等式清爽很多,因為是證明題,可使用常見的指對數放縮證明即可,另外説明一下,有些學生對指對數同構走火入魔了,只要看到指對數同時存在就拼命想能不能同構,這讓人很無語。 分析:和上題不同,本題第二問有明顯的單構或者切線放縮的信號,因為不等式中存在與e^x相乘的x,與之對應的是-lnx,另外題目還有常數1,很明顯利用指數放縮即可消去lnx和常數1,這樣就能證明出a和b的大小關係了,最後需要判定利用切線放縮取等的x值在給定的定義域內方可。 分析:第二問和太原二模類似,但難度降低了不少,依舊可以採用必要性探路先確定a的取值範圍,再證明不等式成立即可,題目中的特殊點是函數和導函數在x=0處均為零,另外題目中給出了區間[0,π],可能會用到sinx在該區間內非負或者cosx在該區間內單減,這種題目很常見,目前來看不屬於難題,但這種題目極可能挖坑,若充分性證不出來,則説明一開始求得的範圍過大,需要縮減參數的範圍,這就有點類似於2020年的全國一卷了,需要留心這種挖坑題目。
分析:第二問首先根據函數存在兩個不同的極值點確定出參數a的取值範圍,可能第一選擇的方法是雙變量法,令f'(x1)=f'(x2)分離出參數a,因為給出了x2-x1的範圍,試着將雙變量轉化為以x2-x1為變量的函數,但在本題目中無法轉化,若對導函數分離參數,a可看成關於x1或x2的函數值域,只需求出x1或x2的範圍即可。

若求x1的範圍,因為滿足-1x1+ln2,若x1→0時顯然不存在這樣的x2,此時可根據x1+ln2和x2均在同一單調減區間內進一步確定x1的範圍,最後取並集即可,這種題目還真是挺少見的。