一道加拿大數學奧賽題：解三元二次方程組，正確率不到5%

大家好！今天和大家分享一道加拿大初中數學奧林匹克競賽題：解三元二次方程組。題目是一個看起來並不複雜的三元二次方程組，但是有老師拿給任教的初中生做時，整體正確率只有不到5%。下面我們一起來看一下這道競賽題。

題目如上：解方程組：xy=z-x-y，xz=y-x-z，yz=x-y-z。

先觀察一下這個方程組的特點，很明顯每個方程的形式都是一樣的，是一個循環形式的方程組。再仔細觀察一下可以輕鬆看出，x=y=z=0和x=y=z=-1都是方程組的解。但是如何求出這兩組解以及除了這兩組解還有沒有其他解呢？

這是一個多元方程組，而解多元方程組的基本思路就是消元，常用的消元的方法有代入消元法和加減消元法。比如我們初中學到的二元一次方程組和三元一次方程組的解法都是如此，所以此題雖然是一道多元高次方程組，同樣可以嘗試消元。

將方程依次標上序號，然後將式子進行加減變換。但是因為左邊有乘積的形式，所以與一次方程不太一樣，並不會簡單的消去其中的一個未知數，後面還是有3個未知數。不過繼續對式子進行處理，那麼就可以得到x=-2或者y=z，然後再進行分類討論就可以求出原方程組的解。

加減消元法除了可以用上面的兩式相減的方法來做，同樣可以用兩式相加的方法來做。解題的過程基本差不多，在此就不贅述了。

代入消元法是將其中的一個未知數用其他未知數表示出來，再代入其他方程的方法。比如本題中，由式子①可以表示出z=xy+x+y，再代入式子②就可以得到x=-2或者y=-1，分別討論可以求出相應的解。再將z=xy+x+y代入式子③，可以得到y=-2或者x=-1，同樣分類討論可以求出相應的解。再加上x=y=z=0這組解即可。

代入消元法除了可以先表示出z，將z代入②和③中求解，還可以先表示出x和y，再代入求值。不過，從式子的形式就可以看出來，先表示出x和y都是分式形式，所以計算量相對更大，而且需要注意代入式子的順序，否則就更難計算了。

為了適當減少計算量，可以採取先將x表示出來然後代入式子②，求出對應的解；再將y表示出的關係式代入式子③，可以再求出對應的解。

從上面的過程可以看出，本題的難點主要有三點：一是消元的過程不像三元一次方程組那麼簡單明瞭；二是整個過程都用到了分類討論的思想；三是容易漏解，特別是後面代入消元法的兩個解題過程非常容易出現漏解的情況。正是這三個難點，所以能夠真正完全做對的學生不到5%。你能完全做對嗎？