1、伽利略的"落體佯謬"證明自由落體定律
自亞里士多德的二千多年以來，人們都認為"物體自由下落時，重物下落快，輕物下落慢。"
直到十六世紀末，伽利略提出"落體佯謬"：
“如果把一個重物和輕物綁在一起：
一方面，輕物下落慢，會拖累重物，導致下落速度慢於重物單獨下落；
另一方面，兩個物體綁在一起後，總重量變大，那麼下落速度應該比重物單獨下落快。
可是，這兩個推論是相互矛盾的。”
同樣，我們假設"輕物下落快重物下落慢",也會得到同樣的矛盾，所以只有輕物和重物下落速度一樣，才不會有矛盾。據説伽利略還做了著名的實驗——兩個鐵球同時着地。
證明了他的推論。
2、萊布尼茲級數的證明
大名頂頂的萊布尼茲級數
該級數形式非常美妙，還包含了圓周率，表面上看，這個級數的證明，應該不簡單，可事實是，只要稍微懂點微積分知識，就相當容易。
3、伯努利對最速降線的證明
最速降線問題，是17世紀的著名難題，難倒了很多數學家。
1630年，大科學家伽利略，提出"一個質點，只在重力作用下，從一個給定點，到不在它垂直下方的另一點，不計摩擦力，問沿着什麼曲線下滑，所需時間最短？"
伽利略認為這個曲線是圓，可是他的答案是錯誤的。該問題最先由伯努利解開，伯努利利用變分法巧妙地解決了這個難題，他的解答如下：
“如果使分層無限增加，每層的厚度無限變薄，則質點的運動趨近於空間A、B兩點間質點運動的真實情況，此時折線也就無限增多，其形狀就趨近我們所要求的曲線——最速降線。
而折線的每一段趨向於曲線的切線，因此得到最速降線的一個重要性質，即任意一點上切線和鉛垂線所成的角度的餘弦，與該點落下的高度的平方根的比值是常數。而具有這種性質的曲線就是擺線。”
4、歐拉對巴塞爾級數的證明
巴塞爾級數（1+1/4+1/9+1/16+……），於1650年提出，一百多年來，無人能給出準確值，甚至牛頓、萊布尼茲和伯努利這樣的大數學家，掌握微積分都無能為力。
然而在1734年，27歲的大數學家歐拉，利用非常基礎的知識解決了這個難題。
5、康托爾對自然數和有理數"一樣多"的證明
康托爾之前，人們都認為有理數遠遠多於自然數，直到康托爾指出，兩者的勢是一樣的，並提出著名的對角線法則。
按照圖紙箭頭走法，我們將"逐一"取遍所有正有理數，也就是有理數和自然數一一對應。