很多時候,我們會依靠直覺來評價一件事,但很多時候,我們的直覺是錯誤的,即使感覺有多準確,而最著名的反直覺問題就是百戰百勝。
案例與問題
監獄決定赦免100名囚犯,條件是他們通過挑戰。
1、所有的囚犯都被一一編號,編號為1-100。
2、將100個編號為1-100的號牌隨機放入100個抽屜。
3、每個囚犯最多可以打開50個抽屜,如果找到與其號碼對應的車牌號,犯人將挑戰成功,否則,挑戰將失敗。
4、如果所有囚犯都挑戰成功,則挑戰為成功,如果有囚犯失敗了,挑戰就失敗了!
囚犯們有一個月的時間討論策略,那麼這100名囚犯獲釋的概率有多大?
直覺
前三點似乎不難,但第四點是一條直線。直覺上,每個囚犯完成挑戰的概率是1/2,每個囚犯的挑戰是一個獨立事件,因此100個囚犯成功同時出現的概率是(1/2)到100次方,幾乎為零!
做個簡單的比較,就像100個人在一起拋硬幣,很難要求所有100個人都是積極的……。
生存的機會微乎其微
事實上百名囚犯挑戰賽並不是一個簡單的概率事件,只要策略談判得當,概率就可以大大提高,在看似不可能的環境中也能找到生命的機會。
例如,假設只有兩個囚犯,根據直覺,一起完成挑戰的概率是1/4,事實上如果他們選擇不同的抽屜,一起完成挑戰的概率是1/2,如果他們選擇同一個抽屜,一起完成挑戰的概率為0。
這就是一個月計劃時間的意義!
策略
有頂針策略,每個犯人進去後,先打開與自己號碼相同的抽屜,從中取出車牌號,然後打開與車牌號對應的抽屜。之後,重複這個過程直到你找到你的車牌號,或者你用完了50個抽屜。
例如,囚犯3進去,打開抽屜3,得到號碼24,打開抽屜24,得到號碼15,然後打開抽屜15……,直到他找到他的號碼牌(號碼3),或者打開50個抽屜。
在這一策略下,所有囚犯有多可能一起完成挑戰?
問題分析
首先,我們使用映射來表示這個策略,在上面的例子中,f(3)=24,f(24)=15,從任意數開始,經過連續疊加,最後一定會返回到這個數並形成一個環。
這樣,數字1-100被分成幾個環,這些環的總長度正好是100。
例如,在上面的兩個環中,長度分別是4和5。
當且僅當所有環的長度不超過50,所有囚犯的挑戰都算作成功。只要任何環的長度大於50,所有囚犯的挑戰就是失敗,因為所有環的長度之和不超過100,因此最多隻能有一個環的長度大於50,但是這個環的長度可能是51、52……100,這些可能性是相互獨立的。
因此相對於計算“所有環的長度都不超過50”的概率,“有一個環的長度超過50”的概率更好。
概率解
假設最長環的長度是m,排列的種類如下
總排列類型為100!
因此最長環的長度是m的概率是1/m
環的長度超過50的概率是1/51+1/52+1/53+……1/100
所以通過挑戰的概率是1-(1/51+1/52+1/53+……1/100)≈30%。
結論
直覺告訴我們,這是一個趨於零的概率,但通過這個策略,他變成了30%的概率,這是百名囚犯挑戰賽的概況,有時候,我們不應該依賴直覺,如果我們冷靜下來,抓住可能出現的漏洞,我們就有機會實現逆轉。