數學思想方法作為數學精髓和核心,我們可以把它看成是數學知識在更高層次上的抽象和概括,它藴含於數學知識的發生、發展和應用的過程,而方程思想方法作為基本的數學思想方法之一,在知識的互相聯繫、互相溝通中起到了紐帶作用。
方程思想在解題中有着廣泛的應用,它是中學數學階段非常重要的數學思想,貫穿了整個初中數學內容。要想吃透方程思想,那麼考生在解答時需要通過觀察、分析、歸納、概括等多種手段,建立等量關係式,把所研究的問題轉化為討論方程的解及相關性質,達到化難為易、化繁為簡的目的。
換個角度來説,方程思想是指運用適當的數學語言,從數學問題的數量關係出發,將此問題中的條件轉化為各種數學模型,然後運用方程或不等式的性質來求解。
方程思想在處理生活中實際問題時有着廣泛的運用。因此各類綜合應用、情景問題、幾何計算、探究問題都要用到方程思想涵蓋的內容。
方程思想有關的中考試題分析,講解1:
如圖,拋物線y=2 k與x軸交於A、B兩點,與y軸交於點C
求拋物線的對稱軸及k的值;
拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA PC的值最小,求此時點P的座標;
點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.
①當M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的座標;
②當M點運動到何處時,四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時點的座標.
考點分析:
二次函數綜合題.
題幹分析:
由拋物線y=2 k與y軸交於點C,即可將點C的座標代入函數解析式,解方程即可求得k的值,由拋物線y=2 k即可求得拋物線的對稱軸為:x=-1;
連接AC交拋物線的對稱軸於點P,則PA PC的值最小,求得A與C的座標,設直線AC的解析式為y=kx b,利用待定係數法即可求得直線AC的解析式,則可求得此時點P的座標;
①設點M的座標為:2-4),即可得S△AMB=1/2×4×/2-4/,由二次函數的最值問題,即可求得△AMB的最大面積及此時點M的座標;
②如圖3,設點M的座標為:2-4),然後過點M作MD⊥AB於D,由S四邊形ABCM=S△OBC S△ADM S梯形OCMD,根據二次函數的最值問題的求解方法,即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的座標.
解題反思:
此題考查了待定係數法求函數的解析式,二次函數的最值問題,三角形與四邊形的面積問題以及線段和最短問題等知識.此題綜合性較強,難度較大,解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用.
方程思想有關的中考試題分析,講解2:
商場某種商品平均每天可銷售30件,每件盈利50元.為了儘快減少庫存,商場決定採取適當的降價措施.經調查發現,每件商品每降價1元,商場平均每天可多售出2件.設每件商品降價x元.據此規律,請回答:
商場日銷售量增加 件,每件商品盈利 元;
在上述條件不變、銷售正常情況下,每件商品降價多少元時,商場日盈利可達到2100元?
解:降價1元,可多售出2件,降價x元,可多售出2x件,
盈利的錢數=50-x,故答案為2x;50-x;
由題意得:=2100
化簡得:x2-35x+300=0
解得:x1=15,x2=20
∵該商場為了儘快減少庫存,則x=15不合題意,捨去.
∴x=20
答:每件商品降價20元,商場日盈利可達2100元.
考點分析:
一元二次方程的應用;銷售問題。
題幹分析:
降價1元,可多售出2件,降價x元,可多售出2x件,盈利的錢數=原來的盈利-降低的錢數;
等量關係為:每件商品的盈利×可賣出商品的件數=2100,把相關數值代入計算得到合適的解即可.
解題反思:
考查一元二次方程的應用;得到可賣出商品數量是解決本題的易錯點;得到總盈利2100的的等量關係是解決本題的關鍵.
方程思想有關的中考試題分析,講解3:
在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以點O為原點,OA所在的直線為x軸,建立平面直角座標系,另有一邊長為2的等邊△DEF,DE在x軸上),如果讓△DEF以每秒1個單位的速度向左作勻速直線運動,開始時點D與點A重合,當點D到達座標原點時運動停止.
設△DEF運動時間為t,△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S,求S關於t的函數關係式.
探究:在△DEF運動過程中,如果射線DF交經過O、C、B三點的拋物線於點G,是否存在這樣的時刻t,使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等?若存在,求出t的值;若不存在,請説明理由.
考點分析:
二次函數綜合題。
題幹分析:
根據F與B重合前後及E與A重合前後,分三種情況求S關於t的函數關係式;
依題意得D,求出直線OC解析式,根據DF∥OC確定直線DF解析式,再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等,求出G點縱座標,根據G點在拋物線上求G點橫座標,代入直線DF解析式求t,判斷是否符號t的取值範圍即可.
解題反思:
本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是根據直角梯形的特點求頂點座標,確定拋物線解析式,根據面積關係,列方程求解.
在不等式、鋭角三角函數、平面幾何等知識中,都會用到方程思想,已經成為中考數學的熱點,考生一定要提高分析問題和解決問題的能力。