上帝或許不擲骰子，但可能會踢足球｜圖片中的數學之美

人們喜愛圖片，總能第一眼就看到它們。我們的大腦不是用來讀字母、寫數字、做複式記賬、編樂譜或解數學方程的，這些都只是人類故事的插曲。人類生存和進化的環境其實更適合被理解和記憶為圖像。我們覺得圖片趣味十足，能傳播知識、便於記憶、給人以啓發。

在最早的人類學文化遺址中，藴合着極其複雜的圖像，例如拉斯科洞窟壁畫。即使在今天，這些圖像也堪稱藝術品。圖片以生活為基礎，把原始社會中的關係拼接在一起，以各種風格和主題勾勒出人類歷史的各個階段，並跨越千古留下了傳統和社會的記憶。圖片也曾集中反映宗教情感與宗教思考，激發人們把自己單純作為主體進行內在的思維活動。在所有表現形式中，圖片力求再現並概括現實的東西，使之產生瞬間的衝擊力——無須記憶，卻難以忘懷。

在過去的30年中，人類最偉大的成就之一，就是一些極其簡單的規則可以從絲毫沒有隨機性和不確定性的條件出發，最終導致從任何現實角度上來説都完全無法預測的情況。下文經出版社授權摘編自《科學的畫廊：圖片裏的科學史》，其中分享了三個經典圖片中的數學發現故事。

《科學的畫廊：圖片裏的科學史》，約翰·D.巴羅著作，唐靜 等譯，人民郵電出版社2022年6月。

五個大明星

柏拉圖多面體

多邊形就是你在一張平整的紙上畫的由直邊圍成的圖形。正多邊形的邊長相等，內角也相等。儘管有這些限制，正多邊形仍然有無窮多種。最簡單的例子就是有三條邊和四條邊的正三角形和正方形了，當然還可以有更多條邊。説出任何一個確定的數字，無論它有多大，只要你的鉛筆夠用，就一定能夠畫出一個擁有相同數量的邊的正多邊形。隨着邊數增大，你用肉眼越來越難以分辨多邊形和圓形了。我們可以把圓形想成由無限多條邊組成的多邊形。總之，正多邊形的數量是無限的。

如果我們把注意力從平面多邊形轉向它在三維空間中對應的概念，那得到的就是凸多面體，即向外凸的多平面立體圖形。如果對平面沒有特殊要求，那麼它們就會產生無數種可能。但是，假設我們把對象限制在正凸多面體上，即各個面完全相同的多面體，那麼會有多少種可能呢？

這些圖形是萊昂納多·達·芬奇的畫作，收錄在意大利數學家盧薩·帕喬利（Lusa Pacioli）1509年出版的《神聖比例》（De Divina Proportione）一書中。圖中的正多面體即為5個柏拉圖多面體，也屬於九大正多面體。其每個面都是相同的正多邊形。正十二面體由12個五邊形組成。正二十面體由20個等邊三角形組成。正八面體由8個等邊三角形組成。正四面體由4個等邊三角形組成。立方體（或稱正六面體）由6個正方形組成。

奇怪的是，總共只有五種正多面體：正四面體（有4個三角形面）、立方體（有6個正方形面）、正八面體（有8個三角形面）、正十二面體（有12個五邊形面）、正二十面體（有20個三角形面）。人們已經證實，從二維到三維的變化是有侷限性的。歐幾里得在《幾何原本》的結尾處證明了這五種多面體是唯一可能的立體圖形。但希臘人在很早以前就已經知道這件事了，他們把這些稱為“柏拉圖多面體”，因為柏拉圖曾在公元前約350年出版的《蒂邁歐篇》一書中描述過這些立體。在這部著作中，柏拉圖開創了把這五種對稱形狀與宇宙的意義聯繫起來的先河，他把正四面體和火元素等同起來，把立方體同土聯繫起來，而正二十面體對應的是水，正八面體對應的是空氣，正十二面體對應的是一種很輕的物質（以太）——這種物質構成了星羣和天空。

四種星形多面體，有時被稱為“開普勒–潘索多面體”。它們是大十二面體（左上）、小星形十二面體（右上）、大星形十二面體（左下）以及大二十面體（右下）

想弄清到底是誰最先發現了正多面體，有點兒像嘗試找出是誰發明了火。但是，柏拉圖把正多面體的發現歸功於雅典的泰阿泰德（Theaetetus），他可能是柏拉圖在雅典學院的一個學生。歷史學家相信，《幾何原本》後幾卷中的一些內容完全是由泰阿泰德的發現衍生而來的，還有其他一些記載在歐多克索斯和帕普斯的著作中。一個較早的説法是：“所謂的五種柏拉圖多面體其實並不屬於柏拉圖。其中三個是由畢達哥拉斯發現的，它們被命名為立方體、角錐體和正十二面體。而正二十面體和正八面體是由特埃特圖斯發現的。”

文策爾·雅姆尼策繪製，約斯特·安曼 （Jost Amman）雕刻的美麗版畫

柏拉圖神秘的立體占星學聯想一直吸引着西方思想家。開普勒試圖在《宇宙的奧秘》這部著作中將柏拉圖多面體的五重和諧與天空聯繫起來。開普勒太陽系的模型用到了所有五種柏拉圖多面體，以此描述16世紀時人們知道的六大行星的 軌道。他用柏拉圖多面體內切球和外接球的直徑之比，來指明行星在自身軌道中離太陽的最大距離和緊挨着的外層行星離太陽的最短距離之比。這就產生了六個 已知星球的五種比例。每個柏拉圖多面體都被安排在兩個相鄰的行星之間。

當內層行星離太陽最遠時，行星在柏拉圖多面體的內切球上；而當外層行星離太陽最近時，行星在相應的外接球上。當早期的古希臘人最早開始列舉組成柏拉圖多面體的五種正多面體時，他們把目標限定在凸多面體上，也就是向外凸的多面體。如果我們允許多面體向內凹的話，兩個共用一條邊的面可以形成小於180°的角，那麼就會產生四個新成員，它們被稱為正星形多面體，即大星形十二面體、小星形十二面體、大十二面體以及大二十面體。

在文藝復興時期，工匠們想利用柏拉圖多面體圖形作為裝飾，於是逐一發現了這些新多面體。開普勒也注意到，可以把固定高度的角錐體添加到正八面體、正十二面體和正二十面體的面上，這樣的話，角錐體的側面就會連成一個平面。他由此引出將多面體組合起來的概念，因此它們就有了交叉面，很像三維版的“大衞之星”（猶太教的標記，為兩個正三角形疊成的六角星。——譯者注）。這些可能性並沒有像凸多面體那樣被系統化地理解。

直到1810年，法國數學家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇文章中對其進行了説明7，所以這些立體圖形也被稱為“開普勒–普安索多面體”。其實，紐倫堡著名的金匠文策爾·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）曾於1568年出版了《幾何美學》（Perspectiva Corporum Regularium）一書，書中的圖就已經預示到了這些圖形。1812年，奧古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）才證明，普安索推測的四種立體圖形就是三維空間裏所有可能的星形多面體8。而這些略顯奇怪的英文名字是在更久之後的1859年，由英國數學家亞瑟·凱萊（Arthur Cayley）命名的。

如今，這些多面體對於數學家來説仍然具有美學上的吸引力和幾何上的魅力9。一直以來，這些立體圖形組成的模型都讓人們驚豔於它們的美麗、對稱性和簡潔10。由此，我們似乎可以理解為什麼人類一直執着於找尋身邊的有限事物和永恆的幾何和諧之間掩藏的超自然聯繫。這種幾何和諧對於人類來説意味着來自宇宙的暗示。

上帝踢足球嗎？

巴基球

在研究了柏拉圖多面體之後，阿基米德馬上發現可以創造出13種半正多面體。只要對稱地截掉立方體、角錐體、正十二面體、正二十面體和正八面體的頂點，就能創造出這五種相對應的多面體，這就是“阿基米德多面體”。這些多面體的面仍然是正多邊形，但這些多邊形卻不盡相同。它們的頂點都很相似，但面卻不完全相同。仿照此法，也可以構建出另外八個阿基米德多面體。我們可以把它們看作繼柏拉圖多面體和星型多面體之後的第二對稱多面體。

達·芬奇所繪的截角二十面體，這是他為帕喬利的書《神聖比例》繪製的插圖

人們發現，某一個阿基米德多面體在宇宙中具有極特殊的重要意義，並且在近20年來的化學發展中有着舉足輕重的地位。這個特殊的多面體就是阿基米德截角二十面體。它有60個頂點和32個面，每三個面相交於一個頂點，此外還有90條邊。32個面中包含20個六邊形和12個五邊形，所以，每兩個六邊形和一個五邊形相交於一個頂點。這是一種美麗的結構，但對讀者來説，比起上述事實，大家馬上能想到的恐怕是另一樣東西。足球到了近代就變成了這種由黑色的五邊形和白色的六邊形組成的典型形狀。

建築師理查德·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller）在他1949年設計的網球格頂中大量運用了二十面體的幾何結構。富勒是一位自學成才的結構工程師，一直以來都努力通過數學上的對稱來達到多重優化的目的，比如減少用料、降低組裝難度以及加強結構的穩固性。他很欣賞妙用材料的方法，比如，一種材料在某種情況下可能極其脆弱，但只要按照適當的幾何構型加以組織利用，就可以達到相當大的強度。蛋殼就是一個大家都熟悉的例子。

阿基米德多面體，都由兩種或兩種以上多邊形的面構成

富勒在1954年的專利文件（專利號：2682235）中的畫作

1967年，富勒為蒙特利爾世界博覽會設計的美國館就是一個由網格狀球頂構成的建築，球頂上的面是由五邊形和六邊形交織構成的截角二十面體。整個建築令人歎為觀止。這是一個關於對稱和功能的偉大宣言，建築的規模和形態引起了很多科學家和設計師的注意，其中就包括哈里·克羅託（Harry Kroto）。克羅託是一位畢生都對建築和平面設計充滿興趣的化學家。其實，哈里曾是我在英國薩塞克斯大學的同事，當我第一次被任命為講師的時候，他甚至還坐在評審席上。哈里一直以來都對在特殊情況下碳分子能否在空間分子云裏形成長鏈的問題很感興趣。

要驗證這樣一個問題需要兩個步驟：首先，在嚴格控制的實驗室環境中創造出類似的鏈；然後，看是否有空間中的分子和這些人工製造出的鏈在光譜的特徵上相匹配。1985年，哈里加入了理查德·斯莫利（Richard Smalley）和羅伯特·柯爾（Robert Curl）在美國得克薩斯的萊斯大學領導的研究團隊，團隊中還有研究生詹姆斯·希思（James Heath）和肖恩·奧布賴恩（Sean O’Brien）。他們打算用激光束打碎碳原子團，然後觀察遺留物在汽化以後是否會凝聚成一些有趣的新碳聚合物。團隊發現，形成的新團都有偶數個原子。在稍微調整了實驗之後，他們可以創造出幾乎總是包含60個碳原子的原子團。團隊試圖為實驗結果找到一個合理的解釋。

《自然》雜誌1985年11月14日的封面，慶賀羅伯特·柯爾、哈里·克羅託和理查德·斯莫利發現了碳-60

哈里也百思不得其解，為什麼碳會更傾向於形成碳-60的形式呢？這時，他想起了曾為孩子們用紙殼做的小截角二十面體，以及富勒的球頂。他馬上打電話給英國的家人確定了自己所做的模型的幾何構成。他相信，碳形成的就是截角二十面體，碳原子位於該構型的60個頂角上。哈里做了一個由五邊形和六邊形構成的紙模型，並在隨後的11天裏瘋狂工作。從1985年9月1日一直到9月12日，他完成了論文並投稿給《自然》雜誌。該雜誌在9月13日收到稿件後，於11月14日將其刊出，並在封面上刊登了相應的圖片。

人們給這些碳原子起過很多名字。起初它被稱作“富勒烯”，以紀念“富勒頂”結構為化學做出的貢獻；之後還有更不正式的名字——“巴基球”，甚至偶爾也被稱為“足球烯”。

這個富勒頂的原型是一個斜方截半九面體，照片拍攝於1954年聖路易斯華盛頓大學

發現新的碳結構是化學界的一次偉大革命，它使無機化學和有機化學聯合在一起，並提供了在分子層面上構建物質的新方法。柯爾、斯莫利和克羅託分享了1996年的諾貝爾化學獎。巴基球的對稱造型自然而然地成了化學的象徵，很多科學雜誌都以這一形象為封面，以慶賀碳分子的新發現。這樣的盛況恐怕只有當年發現脱氧核糖核酸能與之媲美。

一面之詞

默比烏斯帶

把一張長條紙的兩端粘在一起，形成一個圓柱體。在上小學時，大家應該都曾做過無數遍這樣的事了。這個圓柱體有內側也有外側。但是，如果你在把兩端粘在一起之前先把紙帶扭一下的話，就會創造出一個與眾不同的東西。這個環看起來像是一個立體的數字8，並有一個令人震驚的特性——它沒有內側也沒有外側，只有一個表面。如果你用一根蠟筆為這個環染色，那麼蠟筆不離開紙帶的表面就可以染遍整個環。這一特性甚至會帶來商業價值，工廠有時會利用這種單面特性來延長傳送帶的使用壽命。在20世紀20年代，有人還為默比烏斯幻燈片和錄音帶申請了專利，這種方法加倍了連續環的長度，而其中的把戲不過是把帶子扭曲的部分和滾轉機分開。

默比烏斯帶

奧古斯特·默比烏斯（August Möbius）是第一個注意到這種有趣的“表面現象”的人，如今數學家們稱之為“不可定向曲面”。默比烏斯是德國數學家和天文學家，他母親一族的祖先甚至可以追溯到馬丁·路德。年輕的默比烏斯在測繪和三角法天文學領域取得了一系列成就之後，離開了最初求學的城市萊比錫，來到了德國數學界的中心——哥廷根，並在數學巨匠高斯領導下的哥廷根天文台做起了研究。他又從那裏轉去哈雷，在高斯的老師約翰·普法夫（Johann Pfaff）的指導下工作。在經歷數次輾轉後，這位樂於遊學的天文學家最後在1848年回到了萊比錫，成為萊比錫天文台的主管和天文學教授。

默比烏斯傳送帶的早期專利。與傳統雙面傳送帶相比，這種單面結構讓傳送帶的使用壽命加倍，傳統傳送帶只有單面可用

默比烏斯對天文學的貢獻斐然，但其後半生在數學方面也有了許多新發現，特別是在幾何學方面。時至今日，我們仍然在學習源於他的默比烏斯函數和默比烏斯變形。可以想見，作為高斯的學生，默比烏斯在自己的工作成果中設置了很多標準，這讓他的所有工作成果的最終成型和發表都很滯後。結果，關於默比烏斯帶的論文還是在他死後遺留的論文中找到的，而真正發現默比烏斯帶的時間是1858年，當時，他正為“法蘭西科學院年度科學大獎”準備一篇關於多面體的文章。在同年7月，默比烏斯帶還被另一名德國數學家獨立發現，約翰·利斯廷（Johann Listing）也是高斯在物理學和應用數學研究組的學生4。在高斯的建議下，利斯廷開始研究空間結構，而且，為了和他以前的老師在新課題上取得一致，他提出這門學科應該被稱為“拓撲學”——這個名稱一直沿用至今。然而不幸的是，利斯廷和他的妻子都家境貧寒，經常入不敷出，不時要面對高利貸債主的騷擾。大多數同事認為這對夫婦品行不佳，對他們甚少憐憫。所幸一位老友雪中送炭，在利斯廷瀕臨破產時，他的老同學薩托里烏斯·馮·瓦爾特斯豪森（Sartorius von Waltershausen）救助了他們。在很久以前，在二人一起讀書時，利斯廷曾照顧過這位當時身染重疾的朋友，並救了他一命。30年後，馮·瓦爾特斯豪森得以回報恩人，償還了利斯廷的債務。這樣的命運反轉發生在默比烏斯帶的發現者身上，不能不説是一樁美談。

默比烏斯生前未發表手稿中的原始圖畫（1858年）

默比烏斯帶不僅對數學家充滿了吸引力，而且激發了眾多藝術家和設計師表達無限和完美的渴望。其中最著名的莫過於毛裏茨·埃舍爾，他畫出的“活”默比烏斯帶已經成為20世紀製圖術的標誌性作品。埃舍爾在默比烏斯帶啓發下創作的作品中，描繪了9只紅銅色螞蟻在永無止境的帶子上爬行。

在埃舍爾畫廊中，有《不可能三角形》《瀑布》等主題作品，默比烏斯帶也在其中，其外觀經常讓參觀者陷入一種錯覺：默比烏斯帶是一種不可能的圖形。但默比烏斯帶確確實實存在，只不過有點出人意料而已。

埃舍爾的《默比烏斯帶Ⅱ：紅螞蟻》（Möbius StripⅡ: Red Ants），由紅、黑、灰綠色組成的三組木版畫（1963年）

埃舍爾並不是唯一挖掘默比烏斯帶特性的傑出藝術家，在20世紀30年代，瑞士雕刻家馬克斯·比爾（Marx Bill）認為，拓撲學的發展為藝術家們拓展了一片未知的疆域。他以金屬或花崗岩為材質，創作了一系列以“無窮絲帶”為主題的雕刻作品。

比爾做出了實實在在的三維默比烏斯帶。在20世紀70年代，美國高能物理學家兼雕塑家羅伯特·威爾遜用不鏽鋼和銅做出了類似的默比烏斯帶。英國雕塑家約翰·羅賓森（John Robinson）的作品《永恆》（Immorality）是由拋光銅製成的被扭成默比烏斯帶的三葉草結。在尼克·米的數碼藝術作品中，這個閃閃發光的三葉草結懸浮在一片虛幻的海上（下圖）。很多人還把默比烏斯帶結構應用在建築中，創造出歎為觀止的建築物和生動有趣的兒童活動區。

尼克·米虛擬地呈現了約翰·羅賓森的雕塑，被扭成默比烏斯環的三葉草結

小説家們也抓住了機會，把默比烏斯環設計進了奇幻的故事中。1949年，亞瑟·C.克拉克（Arthur C. Clarke）把整個宇宙描述成“黑暗之牆”。把平凡的生活和不可思議之物結合起來更顯有趣，正如在阿明·道奇（Armin Deutsch）的短篇小説《一條名叫默比烏斯的地鐵》（A Subway Named Möbius）中，波士頓的一條地鐵線變成了默比烏斯帶，從此，列車經常消失，一位哈佛大學的數學教授被捲入其中……也許這才是故事的關鍵，這條地鐵線可能就是這位教授設計的！

在新材料技術和各種思想突飛猛進的今天，默比烏斯帶始終挑戰着人們的想象力。無論誰都難逃它的魅力，説不定還有人反而羨慕那些從未聽説過默比烏斯帶的小孩子呢。

文/約翰·D.巴羅

摘編/李永博

導語校對/賈寧