以牛頓刊發那本輝煌的《自然哲學的數學原理》為標誌，科學在數學武裝下變得空前強大，也給人類認知帶來了最徹底的變革，從最磅礴的天體運行，到最微小的基本粒子，到最複雜的生命活動，無不依賴着種種數學工具才得以昭示，我們已經把應用數學的程度看作一門學科的“科學程度”——這幾乎立刻引出了一個很重大的問題：數學本身是科學嗎？
科學研究的尺度，注意右下的數學和邏輯不屬於任何具體的尺度
迄今為止，這個問題通常會得到否定的回答：如果“科學”指的就是科學革命以來給人類帶來的嶄新認知的那種科學，那麼數學不是科學。
為此，這種否定的回答還會澄清一些最基本的概念：我們通常説的自然科學，比如物理、化學、生物、天文，或者社會科學，比如人類學、社會學、歷史學、宗教學，乃至醫學、材料學、工程學這樣的應用科學，都是經驗科學——所謂“經驗”是指可觀察的事件，因此“經驗科學”就是用不斷用可觀察的事件檢驗理論是否正確，這也是經驗科學可靠性的來源。
波普爾《科學發現的邏輯》中提出了“可證偽性”，解釋了當代科學最普遍的檢驗方法
當然這種“觀察”也不侷限於軀體感官的直接體驗，Wifi信號看不見摸不着，只要打開手機就能看見有幾格；引力浩大綿長，照樣能用激光干涉器捕捉它的波動；中微子無影無蹤，但是它撞上介質就能激發光電倍增管，化為示波器上的一個峯值。
引力波是有史以來最難觀察的物理現象，我們需要分辨出0.7個原子那麼微小的變化
但與之相反，數學結論是否成立並不依賴於任何觀察，而只取決於邏輯推演是否正確，因為數學是形式化的邏輯，根本不關心形式究竟指代了什麼。比如我們想知道圓周率的某次計算是否正確，絕不會找個圓來真的量一量，而是要檢查這次計算是否有錯；而且一旦確認計算正確，我們就會認為那些在精度上與之不符的圓不夠圓——事實上，我們認為完美的圓只在數學中存在，在可觀察的世界中並不存在。
我們曾經把米定義為巴黎子午線的千萬分之一，但地球不夠圓，我們最終放棄了這一做法
基於這樣的思考，這個回答會説：數學不是經驗科學，但如果需要強調數學與科學的密切關係，可以將它與邏輯學合稱“形式科學”，亦即以抽象形式為認知對象的科學。
如此重大的數學哲學問題才不會這樣簡單就討論完畢，但就算只從康德的“先天綜合”開始討論，都要寫出一本駭人的鉅著。所以本文將集中闡述我對這個問題的意見，而略去眾多哲學家和數學家的論戰，對於絕大多數讀者來説，這都是鬆了一口氣的好事。
我的意見是，數學同樣是嚴格意義上的經驗科學，但在展開我的論述之前，我們還得有些具體的鋪墊。雖然對於那些具有相當數學修養的人來説，這些鋪墊看起來老生常談，乏善可陳，但是也請他們耐着性子讀下去，因為最終的討論並不常見。
那種認為數學與經驗無關，而完全來自邏輯演繹的觀點，無不強調一切數學證明都遵循了這樣的模式：最初確定的只有少數幾條公理，但公理的組合變化的關係也是確定的，我們於是能夠根據公理得出一些確定的結論，如此遞推下去，任何一個數學問題的答案也是確定的。
既然每一步都是確定的，那麼數學就沒有經驗的成分，不但經驗不會影響證明，連主體都不能影響證明，這個人證明還是那個人證明，甚至有沒有人證明，結果都已經註定了——這種數學先於經驗、先於主體的觀念讓古典時代以來的數學家和哲學家感到了強烈的神秘和神聖，從畢達哥拉斯直到康德概莫能外。
英國浪漫主義詩人威廉·布萊克描繪了上帝創造世界的經典方式——尺規作圖
但是那種“註定的正確”實際上非常可疑，從數學公理到邏輯演繹，都存在同一個數學問題在不同的條件下有不同結論的反例，這在19世紀以後爆發式地推動了數學的進步都與此有關。我們將要觀察的第一個例外，就發生在最熟悉的幾何公理中。
2.1 第五公理的反例
亞歷山大的歐幾里得（Euclid，前325-前265）生活在托勒密時代的埃及，是第一個現代意義上的數學家，他寫成了13卷《幾何原本》，確立了沿用至今的數學公理體系。比如他給出了平面幾何需要的全部五條公理，直到今天還是初中數學的啓蒙根基：
從一點向另一點可以引一條直線。
任意線段能無限延伸成一條直線。
給定任意線段，以其中一個端點為圓心，以線段本身為半徑，可以作一個圓。
所有直角都相等。
若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交
《雅典學堂》中歐幾里得的題目：藍色線段平行且GE=AH，則橙色線段相等——你做做看
其中前四條公理簡潔直白，而且能夠互相推演，唯獨第五條實在繁瑣，而且無論如何也看不出和前四條公理有什麼關係，人們給這條公理改換了各種各樣的表述方式，比如“三角形內角和是180°”、“同位角相等則兩直線平行”、“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”，等等，還試圖用前四條公理證明它，使五條公理成為一個融匯的整體。
第五公設的直接表述
然而事與願違，經過長達兩千多年時停時續的努力，數學家們不但沒能證明第五公理，反而發現即便違背了第五公理，幾何體系也能正常運行，只是這些新的幾何體系看起來有些古怪，違反直覺。我們將這些“反例”的新體系稱為“非歐幾何”，其中最常用的是黎曼幾何和羅氏幾何。
黎曼幾何建立在球面上，在這個世界裏，直線是通過球心的平面在球面上截得的大圓，或者説球面上半徑最大的圓。那麼任意兩條直線都會相交，不存在平行線；而且三角形的內角和大於180°。
三原色的線是直線，△ABC的內角和是270°；紫線不是直線。
羅氏幾何建立在雙曲拋物面上——這是一種兩頭翹兩頭垂的表面，所以又叫馬鞍面，桶裝薯片就是這個形狀。這個世界比球面還要複雜一些，過直線外一點首先有兩條直線與已知直線不斷靠近但永不相交，猶如雙曲線和雙曲線的漸近線，通常定義為“平行”；兩條漸近線之間還有無窮多條直線與已知直線漸行漸遠永不靠近，常被稱為“超平行”；三角形的內角和不但小於180°，當三角形不斷增大時內角和還將趨近於0°。
紅藍線是黃線的平行線，無限漸近但不相交；紫線是黃線的超平行線，兩端都漸去漸遠
對此，一般人可能會感到萬分困惑：這些彩色的線彎曲得如此厲害，怎麼還能叫做直線呢？而這恰恰就是歐幾里得疏漏的地方：他從來沒有充分考慮過什麼是“直線”，只是草率地將直線定義為一點向着兩個相反方向移動形成的軌跡，但是隻有當這個點所在的表面完全平坦時才會留下“筆直”的軌跡，而在彎曲的表面上就會隨着曲率扭轉。只是古往今來的數學家都只在平整的表面上寫寫算算，也就一直沒有考慮過彎曲表面上的反例。
而對於今天的人來説，這些反例就容易理解得多。比如洲際航線常常要尋找最短的路徑，如果面對的是平坦的地圖，大多數人都會選擇那條看起來筆直的黑線，但是換個地球儀觀察，人們就會明白看起來非常彎曲的紅線其實更短——紅線是“最大圓”的一部分，是球面上真正的線段，“兩點之間線段最短”在黎曼幾何中仍然適用。
在地圖上尋找紐約和馬德里的最短航線
在球面上看，紅線原來非常短——這就是大圓導航
但如果吹毛求疵一些，地球是上下略扁的橢球體，赤道和經線之外的直線都會繞着赤道編筐
再比如廣義相對論將萬有引力解釋為質量引起的時空彎曲，也就意味我們所處的這個空間真的不夠平——果然，光一邊沿着直線傳播，一邊“繞”過了障礙物。我們甚至能將巨大質量的天體當作透鏡，看到更加遙遠的天體。
在日全食的時候觀察太陽引力彎曲的光，驗證廣義相對論
“愛因斯坦十字”是一個類星體，它發的光被一個星系中心“扭曲”，呈現出周圍四個幻影
另一方面，既然第五公理完全獨立於其它公理，我們就能構造完全沒有第五公理的幾何體系。比如射影幾何和仿射幾何，它們的公理要少很多，以至沒有“角度”和“距離”這樣的度量概念，但是我們不再繼續討論下去；關於這些非歐幾何如何擴充了人類的視野，在數學和自然科學上掀起了雙重的革命，我們也都不再繼續討論下去。
